Considere todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes reales que tienen la siguiente propiedad: para cualesquiera dos números reales $x$ e $y$ se tiene que \[|y^2-P(x)|\le 2|x|\quad\text{si y sólo si}\quad |x^2-P(y)|\le 2|y|.\] Determine todos los valores posibles de $P(0)$.

Determine todas las funciones $f: \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ que satisfacen \[f\big(f(m)+n\big)+f(m)=f(n)+f(3m)+2014\] para todos los enteros $m$ y $n$ .

Para una secuencia $x_1,x_2,\ldots,x_n$ de números reales, definimos su $\textit{precio}$ como \[\max_{1\le i\le n}|x_1+\cdots +x_i|.\] Dados $n$ números reales, Dave y George quieren ordenarlos en una secuencia con un precio bajo. Diligent Dave comprueba todas las formas posibles y encuentra el precio mínimo posible $D$ . Greedy George, por otro lado, elige $x_1$ tal que $|x_1 |$ sea lo más pequeño posible; entre los números restantes, elige $x_2$ tal que $|x_1 + x_2 |$ sea lo más pequeño posible, y así sucesivamente. Por lo tanto, en el paso $i$ -ésimo elige $x_i$ entre los números restantes para minimizar el valor de $|x_1 + x_2 + \cdots x_i |$ . En cada paso, si varios números proporcionan el mismo valor, George elige uno al azar. Finalmente obtiene una secuencia con precio $G$ . Encuentre la menor constante posible $c$ tal que para cada entero positivo $n$ , para cada colección de $n$ números reales, y para cada posible secuencia que George pueda obtener, los valores resultantes satisfagan la desigualdad $G\le cD$ .

Definir la función $f:(0,1)\to (0,1)$ por \[\displaystyle f(x) = \left\{ \begin{array}{lr} x+\frac 12 & \text{si}\ \ x < \frac 12\\ x^2 & \text{si}\ \ x \ge \frac 12 \end{array} \right.\] Sean $a$ y $b$ dos números reales tales que $0 < a < b < 1$ . Definimos las sucesiones $a_n$ y $b_n$ por $a_0 = a, b_0 = b$ , y $a_n = f( a_{n -1})$ , $b_n = f (b_{n -1} )$ para $n > 0$ . Demuestre que existe un entero positivo $n$ tal que \[(a_n - a_{n-1})(b_n-b_{n-1})<0.\]

Sean $a_0 < a_1 < a_2 < \dots$ una secuencia infinita de enteros positivos. Demuestre que existe un entero único $n\geq 1$ tal que \[a_n < \frac{a_0+a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \leq a_{n+1}.\]

Sea $x > 1$ un número no entero. Demuestre que \[\biggl( \frac{x+\{x\}}{[x]} - \frac{[x]}{x+\{x\}} \biggr) + \biggl( \frac{x+[x]}{ \{x \} } - \frac{ \{ x \}}{x+[x]} \biggr) > \frac 92 \]

En el triángulo $ABC$, el ángulo $\alpha = \angle BAC$ y el lado $a = BC$ son dados. Asuma que $a = \sqrt{rR}$, donde $r$ es el inradio y $R$ el circunradio. Calcule todas las longitudes posibles de los lados $AB$ y $AC.$

Las diagonales $AC$ y $BD$ de un cuadrilátero cíclico convexo $ABCD$ se intersecan en el punto $E$. Dado que $AB = 39, AE = 45, AD = 60$ y $BC = 56$, determine la longitud de $CD.$

Sean $x \geq y \geq z$ números reales tales que $xy + yz + zx = 1$. Demuestre que $xz < \frac 12.$ ¿Es posible mejorar el valor de la constante $\frac 12 \ ?$

Considera un polígono convexo que tiene $n$ vértices, $n\geq 4$ . Descomponemos arbitrariamente el polígono en triángulos que tienen todos los vértices entre los vértices del polígono, de tal manera que no haya dos de los triángulos que tengan puntos interiores en común. Pintamos de negro los triángulos que tienen dos lados que también son lados del polígono, de rojo si solo un lado del triángulo es también un lado del polígono y de blanco aquellos triángulos que no tienen lados que sean lados del polígono. Demuestra que hay dos triángulos negros más que blancos.