4 Demuestre que la ecuación $3a^{4}+4b^{4}=19c^{4}$ no tiene soluciones racionales no triviales. Sugerencia: no intente demostrarlo usando aritmética modular, al menos no de la manera clásica...

2 Sea $t\in\mathbb R$ , $ab+bc+ca>0$ . Demuestre que \[\left( a^2+t-\frac 13\right)\left( b^2+t-\frac 13\right)\left( c^2+t-\frac 13\right)\ge t^3(ab+bc+ca)^{\frac 13}.\] Propuesto por Xiaokun Chen ys-lg

3 Dado un entero positivo $n \geq 4$ , considere todos los números reales positivos no enteros $x_1, x_2, \dots, x_n$ tales que su suma es $n$ . Halle las constantes óptimas $C_1(n)$ y $C_2(n)$ tales que la siguiente desigualdad se cumple siempre: $$C_1(n) \leq \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i \cdot \{x_i\}}{x_i + 1} \leq C_2(n),$$ donde $\{x_i\}$ denota la parte fraccionaria de $x_i$ . Propuesto por Yang Xia

1 En un triángulo acutángulo $ABC$ , supongamos que las longitudes de los lados satisfacen $BC > AB > AC$ . Sea $I$ el incentro del triángulo, y $D$ el punto de tangencia de la circunferencia inscrita con el lado $BC$ . Sea $G$ el punto de Gergonne del triángulo, y $J$ el conjugado isogonal de $I$ con respecto al triángulo $GBC$ . La recta $IJ$ interseca $AD$ en el punto $X$ . Demuestre que: $AX = 2XD$ . Propuesto por Xiaokun Chen

8 2 jugadores A y B juegan el siguiente juego, comenzando A: En el turno de cada jugador, coloca un número del 1 al 99 entre 99 puntos igualmente espaciados sobre una circunferencia (los números no pueden repetirse), y el jugador que completa 3 números consecutivos que forman una progresión aritmética alrededor de la circunferencia gana el juego. ¿Quién tiene la estrategia ganadora? Explique su razonamiento.

1 Sea $\triangle A{}BC$ un triángulo escaleno, y sean $O$ y $H$ su circuncentro y su ortocentro, respectivamente. La recta $OH$ (la recta de Euler) interseca $AC$ y $AB$ en los puntos $E$ y $F$ . Sea $\odot O$ la circunferencia circunscrita de $\triangle A{}BC$ , y sea $J$ su intersección con la circunferencia circunscrita $\odot S$ de $\triangle AEF$ (donde $J \neq A$ ) . La circunferencia circunscrita de $\triangle JSO$ interseca $\odot O$ en los puntos $J$ y $K$ , e interseca la recta $OH$ en los puntos $O$ y $D$ . La recta $DK$ interseca $\odot O$ en los puntos $G$ y $K$ . Sea $M$ la intersección de la recta $JK$ con $OH$ . Demuestre que: la circunferencia que pasa por los puntos $G, H,$ y $M$ es tangente a $\odot O$ . Propuesto por Minyan Hao

1 Dado un triángulo $ ABC$ con circuncentro $O$ y ortocentro $H$ . La recta $OH$ corta a $AB, AC$ en $E,F$ , respectivamente. Defina $S$ como el circuncentro de $ AEF$ . La circunferencia circunscrita de $ AEF$ corta nuevamente a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $J$ , $J \not= A$ . La recta $OH$ corta nuevamente a la circunferencia circunscrita de $JSO$ en $D$ , $D \not= O$ , y la circunferencia circunscrita de $JSO$ corta nuevamente a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $K$ , $K \not= J$ . Defina $M$ como la intersección de $JK$ y $OH$ , y $DK$ corta a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $K,G$ . Demuestre que la circunferencia circunscrita de $GHM$ y la circunferencia circunscrita de $ABC$ son tangentes entre sí. Propuesto por 郝敏言 , China

1 P(x) es un polinomio, degP(x)=n. P(x) es bueno si P(P(x)) tiene n^2 raíces no positivas distintas. P(x) es grande si para todo entero positivo m, P(P(...)) (m veces P) tiene n^m raíces distintas. Halle todos los enteros positivos n tales que, para todo P(x) que satisfaga degP(x)=n, si P(x) es bueno, entonces P(x) debe ser grande.

1 Sean $v_1,v_2,…,v_n$ $n$ vectores unitarios en $\mathbb{R}^m$ . Demuestre que existen $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n \in \left \{ -1, 1 \right \} $ tales que: $\left | \sum_{i=1}^{n} \varepsilon_i v_i \right | \ge \sqrt{n} $ Nota: Para todo $x=(x_1,x_2, \cdots, x_m) \in \mathbb{R}^m $ , defina $\left | x \right | =\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_m^2} $ Propuesto por Qu Zhenhua

2 Dado un entero positivo $k$ , sea $X=\left \{ x \in \mathbb{N}^*|x\le 6k, x \equiv 1,2,3 \pmod{6} \right \} $ . Halle el número de pares de enteros positivos $ (p,q)$ que satisfacen las siguientes condiciones: 1 . $p<q$ y $\gcd(p,q)=1$ ; 2. Existe una partición de $X$ en $A\cup B(A\cap B \ne \emptyset )$ tal que $p \cdot (\sum_{a \in A} a) = q \cdot (\sum_{b \in B} b)$ . Propuesto por Feng Yuefeng