14 Determina todos los valores reales del parámetro $a$ para los cuales la ecuación \[16x^4 -ax^3 + (2a + 17)x^2 -ax + 16 = 0\] tiene exactamente cuatro raíces reales distintas que forman una progresión geométrica. Amir

15 Demuestra que el conjunto $S$ de números naturales $n$ para los cuales $\frac{3}{n}$ no puede escribirse como la suma de dos recíprocos de números naturales ( $S =\left\{n |\frac{3}{n} \neq \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \text{ para cualesquiera } p, q \in \mathbb N \right\}$ ) no es la unión de finitamente muchas progresiones aritméticas. Amir

16 Sea $p(x)$ un polinomio cúbico con coeficientes enteros, coeficiente principal $1$ y con una de sus raíces igual al producto de las otras dos. Demuestra que $2p(-1)$ es un múltiplo de $p(1)+p(-1)-2(1+p(0)).$ Amir

Se te da un sistema algebraico que admite suma y multiplicación para el cual todas las leyes de la aritmética ordinaria son válidas excepto la conmutatividad de la multiplicación. Muestra que \[(a + ab^{-1} a)^{-1}+ (a + b)^{-1} = a^{-1},\] donde \(x^{-1}\) es el elemento para el cual \(x^{-1}x = xx^{-1} = e\), y \(e\) es el elemento del sistema tal que para todo \(a\) se cumple \(ea = ae = a\).

19 Demuestra que \[ \frac{1 - s^a}{1 - s} \leq (1 + s)^{a-1}\] se cumple para todo $1 \neq s > 0$ real y $0 < a \leq 1$ racional. Amir

20 Considera un cubo \(C\) y dos planos \(\sigma, \tau\), que dividen el espacio euclidiano en varias regiones. Demuestra que el interior de al menos una de estas regiones interseca al menos tres caras del cubo. Amir

Todas las aristas y todas las diagonales del hexágono regular \(A_1A_2A_3A_4A_5A_6\) se colorean de azul o rojo de modo que cada triángulo \(A_jA_kA_m\), con \(1 \leq j < k < m \leq 6\), tenga al menos una arista roja. Sea \(R_k\) el número de segmentos rojos \(A_kA_j\), con \(j \neq k\). Demuestra la desigualdad \[ \sum_{k=1}^6 (2R_k-7)^2 \leq 54. \] Amir

22 Sea $M$ el conjunto de números reales de la forma $\frac{m+n}{\sqrt{m^2+n^2}}$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos. Demuestra que para todo par $x \in M, y \in M$ con $x < y$, existe un elemento $z \in M$ tal que $x < z < y.$ Amir

23 Determina la suma de todos los enteros positivos cuyos dígitos (en base diez) forman una secuencia estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Amir

24 Demuestra que si una persona a tiene infinitos descendientes (hijos, hijos de estos, etc.), entonces a tiene una sucesión infinita $a_0, a_1, \ldots$ de descendientes (es decir, $a = a_0$ y para todo $n \geq 1$, $a_{n+1}$ es siempre un hijo de $a_n$). Se supone que nadie puede tener infinitos hijos. Variante 1. Demuestra que si $a$ tiene infinitos antepasados, entonces $a$ tiene una sucesión infinita descendente de antepasados (es decir, $a_0, a_1, \ldots$ donde $a = a_0$ y $a_n$ es siempre un hijo de $a_{n+1}$). Variante 2. Demuestra que si alguien tiene infinitos antepasados, entonces no todas las personas pueden descender de $A(dam)$ y $E(ve)$. Amir