4 Llame a un conjunto de enteros no − aislado si para todo a∈A al menos uno de los números $a-1$ y $a+1$ también pertenece a A. Demuestre que el número de subconjuntos no − aislados de 5−elementos de { $1,2, . . . ,n$ } es $(n-4)^2$ .

5 Halle todos los enteros positivos n para los cuales puede encontrarse una permutación $a_1,a_2, . . . ,a_n$ de { $1, 2, . . . , n$ } tal que $$0,a_1,a_1+a_2,a_1+a_2+a_3, . . .,a_1+a_2+. . .+a_n$$ dejen residuos distintos módulo $n+1$ .

1 ¿Existen 100 rectas en el plano, sin tres concurrentes, tales que se intersequen exactamente en 2017 puntos?

1 Una sucesión infinita de cifras $1$ y $2$ está determinada por las dos propiedades siguientes: i) La sucesión se construye escribiendo, en algún orden, bloques $12$ y bloques $112.$ ii) Si cada bloque $12$ se reemplaza por $1$ y cada bloque $112$ por $2$ , se obtiene nuevamente la misma sucesión. ¿En qué posición se encuentra la centésima cifra $1$ ? ¿Cuál es la milésima cifra de la sucesión?

2 Sea $m$ un entero positivo para el cual existe un entero positivo $n$ tal que el producto $mn$ es un cuadrado perfecto y $m- n$ es primo. Halle todos los $m$ para $1000\leq m \leq 2021.$

3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en un círculo tal que $\angle ABC=60^{\circ}.$ a) Demuestre que si $BC=CD$ entonces $AB= CD+DA.$ b) ¿Es cierto que si $AB= CD+DA$ entonces $BC=CD$ ?

4 Halle los números reales $x, y, z$ tales que, $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}, \frac{1}{y}+\frac{1}{z+x}=\frac{1}{3}, \frac{1}{z}+\frac{1}{x+y}=\frac{1}{4}.$$

5 La sucesión $a_n (n\geq 1)$ de números naturales se define como $a_{n+1}=a_n+b_n,$ , donde $b_n$ es el número que tiene las mismas cifras que $a_n$ pero en orden inverso ( $b_n$ puede empezar con $0$ ) . Por ejemplo, si $a_1=180,$ , entonces $a_2=261, a_3=423.$ a) Decida si $a_1$ puede elegirse de modo que $a_7$ sea primo. b) Decida si $a_1$ puede elegirse de modo que $a_5$ sea primo.

6 Decimos que un entero positivo $k$ es tricúbico si existen tres enteros positivos $a, b, c,$ no necesariamente distintos, tales que $k=a^3+b^3+c^3.$ a) Demuestre que hay infinitos enteros positivos $n$ que satisfacen la condición siguiente: exactamente uno de los tres números $n, n+2$ y $n+28$ es tricúbico. b) Demuestre que hay infinitos enteros positivos $n$ que satisfacen la condición siguiente: exactamente dos de los tres números $n, n+2$ y $n+28$ son tricúbicos. c) Demuestre que hay infinitos enteros positivos $n$ que satisfacen la condición siguiente: los tres números $n, n+2$ y $n+28$ son tricúbicos.

1 Considere un tablero de \(21\times100\) y \(2100\) fichas. Bruno coloca inicialmente \(n\) fichas en el tablero, con a lo sumo una ficha por casilla. Luego quiere llenar todo el tablero usando el siguiente procedimiento: en cada movimiento, coloca una ficha nueva en una casilla vacía que tenga al menos dos casillas vecinas que ya contengan fichas. Determine el valor más pequeño de \(n\) para el cual Bruno siempre puede lograr este objetivo. Nota: Dos casillas se consideran vecinas si comparten un lado común.