Demuestra que $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ es un número compuesto.

¿Existe un conjunto $ M$ con las siguientes propiedades? (i) El conjunto $ M$ consta de 1992 números naturales. (ii) Cada elemento en $ M$ y la suma de cualquier número de elementos tiene la forma $ m^k$ $ (m, k \in \mathbb{N}, k \geq 2).$

Para cualquier entero positivo $ x$ define $ g(x)$ como el mayor divisor impar de $ x,$ y \[ f(x) = \begin{cases} \frac {x}{2} + \frac {x}{g(x)} & \text{si \(x\) es par}, \\ 2^{\frac {x + 1}{2}} & \text{si \(x\) es impar}. \end{cases} \] Construya la secuencia $ x_1 = 1, x_{n + 1} = f(x_n).$ Muestre que el número 1992 aparece en esta secuencia, determine el menor $ n$ tal que $ x_n = 1992,$ y determine si $ n$ es único.

Encuentre todos los enteros $\,a,b,c\,$ con $\,1<a<b<c\,$ tales que \[ (a-1)(b-1)(c-1) \] es un divisor de $abc-1.$

Sean $ f, g$ y $ a$ polinomios con coeficientes reales, $ f$ y $ g$ en una variable y $ a$ en dos variables. Suponga \[ f(x) - f(y) = a(x, y)(g(x) - g(y)) \forall x,y \in \mathbb{R}\] Pruebe que existe un polinomio $ h$ con $ f(x) = h(g(x)) \text{ } \forall x \in \mathbb{R}.$

En un triángulo $ ABC,$ sean $ D$ y $ E$ las intersecciones de las bisectrices de $ \angle ABC$ y $ \angle ACB$ con los lados $ AC,AB,$ respectivamente. Determine los ángulos $ \angle A,\angle B, \angle C$ si $ \angle BDE = 24 ^{\circ},$ $ \angle CED = 18 ^{\circ}.$

Sea $\,S\, $ un conjunto finito de puntos en el espacio tridimensional. Sean $\,S_{x},\,S_{y},\,S_{z}\, $ los conjuntos que consisten en las proyecciones ortogonales de los puntos de $\,S\, $ sobre el plano $yz$ - , el plano $zx$ - , el plano $xy$ - , respectivamente. Demuestra que\n\[ \vert S\vert^{2}\leq \vert S_{x} \vert \cdot \vert S_{y} \vert \cdot \vert S_{z} \vert, \]\ndonde $\vert A \vert$ denota el número de elementos en el conjunto finito $A$ . Nota: La proyección ortogonal de un punto sobre un plano es el pie de la perpendicular desde ese punto al plano.

Sea $ f(x)$ un polinomio con coeficientes racionales y $ \alpha$ un número real tal que\n\[ \alpha^3 - \alpha = [f(\alpha)]^3 - f(\alpha) = 33^{1992}.\]\nDemuestra que para cada $ n \geq 1,$ \n\[ \left [ f^{n}(\alpha) \right]^3 - f^{n}(\alpha) = 33^{1992},\]\ndonde $ f^{n}(x) = f(f(\cdots f(x))),$ y $ n$ es un entero positivo.

Demuestra que en el plano existe un polígono convexo de 1992 lados que satisface las siguientes condiciones: (i) las longitudes de sus lados son $ 1, 2, 3, \ldots, 1992$ en algún orden; (ii) el polígono se puede circunscribir alrededor de un círculo. Formulación alternativa: ¿Existe un 1992-gono con longitudes de lado $ 1, 2, 3, \ldots, 1992$ circunscrito alrededor de un círculo? Responde la misma pregunta para un 1990-gono.

Dos círculos $ \Omega_{1}$ y $ \Omega_{2}$ son externamente tangentes entre sí en un punto $ I$ , y ambos círculos son tangentes a un tercer círculo $ \Omega$ que encierra a los dos círculos $ \Omega_{1}$ y $ \Omega_{2}$ . La tangente común a los dos círculos $ \Omega_{1}$ y $ \Omega_{2}$ en el punto $ I$ se encuentra con el círculo $ \Omega$ en un punto $ A$ . Una tangente común a los círculos $ \Omega_{1}$ y $ \Omega_{2}$ que no pasa por $ I$ se encuentra con el círculo $ \Omega$ en los puntos $ B$ y $ C$ de tal manera que los puntos $ A$ y $ I$ se encuentran en el mismo lado de la línea $ BC$ . Demuestra que el punto $ I$ es el incentro del triángulo $ ABC$ . Formulación alternativa: Dos círculos se tocan externamente en un punto $ I$ . Los dos círculos se encuentran dentro de un círculo grande y ambos lo tocan. La cuerda $ BC$ del círculo grande toca ambos círculos más pequeños (no en $ I$ ). La tangente común a los dos círculos más pequeños en el punto $ I$ se encuentra con el círculo grande en un punto $ A$ , donde los puntos $ A$ y $ I$ están en el mismo lado de la cuerda $ BC$ . Muestra que el punto $ I$ es el incentro del triángulo $ ABC$ .