6 Las casillas de un tablero de $ n$ × $ n$ están coloreadas de negro y blanco como se hace usualmente en un tablero de ajedrez, y la esquina superior izquierda es negra. Coloreamos de negro las casillas del tablero de acuerdo con la siguiente regla: en cada paso elegimos un rectángulo arbitrario de $ 2$ × $ 3$ o $ 3$ × $ 2$ que aún contenga $ 3$ casillas blancas, y coloreamos esas tres casillas de negro. ¿Para qué valores de $ n$ se puede colorear todo el tablero de negro en un número finito de pasos?

1 Un entero positivo se llama bueno si puede escribirse como la suma de dos cuadrados de enteros distintos. Un entero positivo se llama mejor si puede escribirse de al menos dos maneras como la suma de dos cuadrados de enteros. Un entero positivo se llama óptimo si puede escribirse de al menos cuatro maneras como la suma de dos cuadrados de enteros distintos. a) Demuestre que el producto de dos números buenos es bueno. b) Demuestre que $ 5$ es bueno, $ 2005$ es mejor y $ 2005^2$ es óptimo.

2 En cada casilla de una cuadrícula de $ 1 \times 2009$ colocamos un $ 0$ o un $ 1$ , de modo que la suma de cualesquiera $ 90$ casillas consecutivas sea $ 65$ . Determine todos los valores posibles de la suma de las $ 2009$ casillas de la cuadrícula.

3 Muestre que si $ h_A, h_B,$ y $ h_C$ son las alturas de $ \triangle ABC$ , y $ r$ es el radio de la circunferencia inscrita, entonces $$ h_A + h_B + h_C \ge 9r$$

4 El punto $ M$ se elige dentro del paralelogramo $ ABCD$ . Muestre que $ \angle MAB$ es congruente con $ \angle MCB$ si y solo si $ \angle MBA$ y $ \angle MDA$ son congruentes.

5 La media extraña de dos números $ a$ y $ b$ se define como $ \sqrt {\frac {2a^2 + 3b^2}{5}}$ . Se colocan $ 2009$ enteros positivos alrededor de un círculo de modo que cada número sea igual a la media extraña de los dos números que están a su lado. Muestre que estos $ 2009$ números deben ser iguales.

1 Dado un rectángulo de $ 1 \times 25$ dividido en $ 25$ "cajas" ( $ 1 \times 1$ ) , ¿es posible escribir los enteros de $ 1$ a $ 25$ de modo que la suma de dos "cajas" adyacentes cualesquiera sea un cuadrado perfecto?

2 Usando los dígitos $ 1, 2, 3, 4, 5, 6$ , sin repetición, se forman $ 3$ números de dos cifras. Luego los números se suman. Mediante este procedimiento, ¿cuántas sumas diferentes se pueden obtener?

3 Una bolsa contiene canicas azules y rojas*. Considere el siguiente juego: se sacan canicas de la bolsa, una por una, hasta que haya un número igual de canicas azules y rojas; una vez que el número de canicas azules iguala al número de canicas rojas, el juego termina. En una instancia de este juego, se observa que, al final, se sacaron $ 10$ canicas de la bolsa, y no hubo $ 3$ canicas consecutivas todas del mismo color. Demuestre que, en dicha instancia del juego, la quinta y la sexta canicas eran de diferente color. *El problema original involucraba "piedras".

4 Si los lados de un triángulo tienen longitudes $ a, b, c$ , tales que $ a + b - c = 2$ , y $ 2ab - c^{2} = 4$ , demuestre que el triángulo es equilátero.