Sean $\,{\mathbb{R}}\, $ el conjunto de todos los números reales. Encuentra todas las funciones $\,f: {\mathbb{R}}\rightarrow {\mathbb{R}}\, $ tales que\n\[ f\left( x^{2}+f(y)\right) =y+\left( f(x)\right) ^{2}\hspace{0.2in}\text{para todos los}\,x,y\in \mathbb{R}. \]

Encontrar un triángulo rectángulo que se pueda cortar en $365$ triángulos iguales.

Se sabe que cada estudiante de la clase del domingo visitó una vez la pista de patinaje, y cada chico se encontró allí con cada chica. Demuestra que hubo un momento en el tiempo en que todos los chicos, o todas las chicas de la clase, estuvieron simultáneamente en la pista de patinaje.

¿Existen $14$ enteros positivos consecutivos, cada uno de los cuales tiene un divisor distinto de $1$ y que no excede a $11$?

Demuestra la desigualdad $\left(1+\frac{1}{q}\right)\left(1+\frac{1}{q^2}\right)...\left(1+\frac{1}{q^n}\right)<\frac{q-1}{q-2}$ para $n\in N, q>2$

Usando solo un ángulo con ángulo $\frac{\pi}{7}$ y una regla, construir el ángulo $\frac{\pi}{14}$

¿Es posible pintar todos los números naturales en $6$ colores, de modo que se use cada color y la suma de cinco números de diferente color se pinte con el sexto color?

Resolver en números naturales el sistema de ecuaciones $3x^2+6y^2+5z^2=1997$ y $3x+6y+5z=161$.

El producto de cualesquiera tres de estos cuatro números naturales es un cuadrado perfecto. Demuestra que estos números son en sí mismos cuadrados perfectos.

En un tablero de $8 \times 8$ existen $64$ reyes, todos inicialmente colocados en diferentes casillas. Arnaldo y Bernaldo juegan alternadamente, comenzando Arnaldo. En cada movimiento, uno de los dos jugadores elige un rey y puede moverlo una casilla a la derecha, una casilla hacia arriba, o una casilla hacia arriba a la derecha. En el caso de que un rey sea movido a una casilla ocupada, ambos reyes son retirados del juego. El jugador que pueda remover dos de los últimos reyes o dejar un último rey en la esquina superior derecha gana el juego. ¿Cuál de los dos jugadores puede asegurar la victoria?