13 En una conferencia hay $n$ matemáticos. Cada uno de ellos conoce exactamente a $k$ colegas matemáticos. Halle el menor valor de $k$ tal que existan al menos tres matemáticos que se conozcan mutuamente entre sí. Reformulación de la última línea para mayor claridad: Halle el menor valor de $k$ tal que (siempre) existan $3$ matemáticos $X,Y,Z$ tales que $X$ e $Y$ se conozcan, $X$ y $Z$ se conozcan e $Y$ y $Z$ se conozcan.

1 Sea $ABCD$ un paralelogramo en el cual el ángulo en $B$ es obtuso y $AD>AB$ . Puntos $K$ y $L$ sobre $AC$ tales que $\angle ADL=\angle KBA$ ( los puntos $A, K, C, L$ son todos diferentes, con $K$ entre $A$ y $L$ ) . La recta $BK$ interseca la circunferencia circunscrita $\omega$ de $ABC$ en los puntos $B$ y $E$ , y la recta $EL$ interseca $\omega$ en los puntos $E$ y $F$ . Demuestre que $BF||AC$ .

2 En un país hay vuelos directos de dos sentidos entre algunos pares de ciudades. Cualquier ciudad puede ser alcanzada desde cualquier otra mediante una sucesión de a lo sumo $100$ vuelos. Además, cualquier ciudad puede ser alcanzada desde cualquier otra mediante una sucesión de un número par de vuelos. ¿Cuál es el menor $d$ para el cual uno puede siempre afirmar que cualquier ciudad puede ser alcanzada desde cualquier otra mediante una sucesión de un número par de vuelos que no exceda $d$ ?

3 Sea $Q$ un polinomio cuadrático que tiene dos ceros reales diferentes. Demuestre que existe un polinomio mónico no constante $P$ tal que todos los coeficientes del polinomio $Q(P(x))$ excepto el principal son (en valor absoluto) menores que $0.001$ .

4 Halle el mayor entero positivo $N $ para el cual se pueden elegir $N $ números distintos del conjunto ${1,2,3,...,100}$ tales que ni la suma ni el producto de cualesquiera dos números elegidos diferentes sea divisible por $100$ . Propuesto por Mikhail Evdokimov

5 Sean $x $ y $y $ enteros positivos tales que $[x+2,y+2]-[x+1,y+1]=[x+1,y+1]-[x,y]$ . Demuestre que uno de los dos números $x $ y $y $ divide al otro. (Aquí $[a,b] $ denota el mínimo común múltiplo de $a $ y $b $ ) . Propuesto por Dusan Djukic.

6 Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo que tiene una circunferencia inscrita y una circunscrita. Denótese por $\omega_{A}, \omega_{B},\omega_{C},\omega_{D},\omega_{E}$ y $\omega_{F}$ las circunferencias inscritas de los triángulos $FAB, ABC, BCD, CDE, DEF$ y $EFA$ , respectivamente. Sea $l_{AB}$ la tangente común externa de $\omega_{A}$ y $\omega_{B}$ ; las rectas $l_{BC}$ , $l_{CD}$ , $l_{DE}$ , $l_{EF}$ , $l_{FA}$ se definen análogamente. Sea $A_1$ el punto de intersección de las rectas $l_{FA}$ y $l_{AB}$ ; $B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$ se definen análogamente. Demuestre que $A_1D_1, B_1E_1, C_1F_1$ son concurrentes.

2 En una red social con un conjunto finito fijo de usuarios, cada usuario tenía un conjunto fijo de seguidores entre los demás usuarios. Cada usuario tiene una calificación inicial entera positiva (no necesariamente la misma para todos los usuarios). Cada medianoche, la calificación de cada usuario aumenta en la suma de las calificaciones que sus seguidores tenían justo antes de la medianoche. Sea $m$ un entero positivo. Un hacker, que no es un usuario de la red social, quiere que todos los usuarios tengan calificaciones divisibles por $m$ . Cada día, puede elegir a un usuario y aumentar su calificación en 1, o no hacer nada. Demuestre que el hacker puede lograr su objetivo después de un cierto número de días. Vladislav Novikov

6 Demuestre que para todo número compuesto $ n>4$ , el número $ kn$ divide a $ (n-1)!$ para todo entero $ k$ tal que $ 1\le k\le \lfloor \sqrt{n-1} \rfloor$ .

3 En un triángulo no equilátero $ABC$ , el punto $I$ es el incentro y el punto $O$ es el circuncentro. Una recta $s$ que pasa por $I$ es perpendicular a $IO$ . La recta $\ell$ simétrica a la recta $BC$ con respecto a $s$ corta a los segmentos $AB$ y $AC$ en los puntos $K$ y $L$ , respectivamente ( $K$ y $L$ son distintos de $A$ ) . Demuestre que el circuncentro del triángulo $AKL$ se encuentra sobre la recta $IO$ . Dušan Djukić