Sea $n\geq 2$ un entero y sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ números reales positivos con suma $1$ . Demuestra que $$\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{1-a_k}(a_1+a_2+\cdots+a_{k-1})^2 < \frac{1}{3}.$$

Demostrar que la desigualdad \[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i-x_j|}\leqslant \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i+x_j|}\] se cumple para todos los números reales $x_1,\ldots x_n.$

Para cada entero $n\ge 1,$ calcule el valor más pequeño posible de \[\sum_{k=1}^{n}\left\lfloor\frac{a_k}{k}\right\rfloor\] sobre todas las permutaciones $(a_1,\dots,a_n)$ de $\{1,\dots,n\}.$

¿Qué enteros positivos $n$ hacen que la ecuación \[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \left\lfloor \frac{ij}{n+1} \right\rfloor=\frac{n^2(n-1)}{4}\] sea verdadera?

Sea $n$ un entero positivo. Dado un subconjunto $A$ de $\{0,1,...,5^n\}$ con $4n+2$ elementos. Demostrar que existen tres elementos $a<b<c$ de $A$ tales que $c+2a>3b$.

Para cada entero positivo $\,n,\;S(n)\,$, se define como el entero más grande tal que, para cada entero positivo $\,k\leq S(n),\;n^{2}\,$, se puede escribir como la suma de $\,k\,$ cuadrados positivos. \na.) Demuestra que $\,S(n)\leq n^{2}-14\,$ para cada $\,n\geq 4\,$. \nb.) Encuentra un entero $\,n\,$ tal que $\,S(n)=n^{2}-14\,$. \nc.) Demuestra que hay infinitos enteros $\,n\,$ tales que $\,S(n)=n^{2}-14.$

En el plano sea $\,C\,$ un círculo, $\,L\,$ una línea tangente al círculo $\,C,\,$ y $\,M\,$ un punto en $\,L$ . Encuentra el lugar geométrico de todos los puntos $\,P\,$ con la siguiente propiedad: existen dos puntos $\,Q,R\,$ en $\,L\,$ tales que $\,M\,$ es el punto medio de $\,QR\,$ y $\,C\,$ es el círculo inscrito del triángulo $\,PQR$ .

Sea $ f(x) = x^8 + 4x^6 + 2x^4 + 28x^2 + 1.$ Sea $ p > 3$ un primo y supón que existe un entero $ z$ tal que $ p$ divide a $ f(z).$ Demuestra que existen enteros $ z_1, z_2, \ldots, z_8$ tales que si \[ g(x) = (x - z_1)(x - z_2) \cdot \ldots \cdot (x - z_8),\] entonces todos los coeficientes de $ f(x) - g(x)$ son divisibles por $ p.$

Sea $ \lfloor x \rfloor$ el mayor entero menor o igual que $ x.$ Elige cualquier $ x_1$ en $ [0, 1)$ y define la secuencia $ x_1, x_2, x_3, \ldots$ por $ x_{n+1} = 0$ si $ x_n = 0$ y $ x_{n+1} = \frac{1}{x_n} - \left \lfloor \frac{1}{x_n} \right \rfloor$ en caso contrario. Demuestra que \[ x_1 + x_2 + \ldots + x_n < \frac{F_1}{F_2} + \frac{F_2}{F_3} + \ldots + \frac{F_n}{F_{n+1}},\] donde $ F_1 = F_2 = 1$ y $ F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ para $ n \geq 1.$

Sea $ \alpha(n)$ el número de dígitos iguales a uno en la representación binaria de un entero positivo $ n.$ Demuestra que: (a) la desigualdad $ \alpha(n) (n^2 ) \leq \frac{1}{2} \alpha(n)(\alpha(n) + 1)$ se cumple; (b) la desigualdad anterior es una igualdad para infinitos enteros positivos, y (c) existe una sucesión $ (n_i )^{\infty}_1$ tal que $ \frac{\alpha ( n^2_i )}{\alpha (n_i )}$ tiende a cero cuando $ i$ tiende a $ \infty.$ Problema alternativo: Demuestra que existe una sucesión $ (n_i )^{\infty}_1$ tal que $ \frac{\alpha ( n^2_i )}{\alpha (n_i )}$