3: Sea $a_1, a_2, . . ., a_n$ una sucesión finita de $0$ y $1$ . Debajo de cualesquiera dos términos consecutivos de esta sucesión se escribe $0$ si los dígitos son iguales y se escribe $1$ en caso contrario. De este modo se obtiene una nueva sucesión de longitud $n -1$ . Repitiendo este procedimiento $n - 1$ veces se obtiene una tabla triangular de $0$ y $1$ . Halle el número máximo posible de unos que pueden aparecer en esta tabla.

4: Se dan dos círculos concéntricos de radios $R$ y $R_1 > R$ . Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en el círculo menor y sean los rayos $CD, DA, AB, BC$ que cortan al círculo mayor en $A_1, B_1, C_1, D_1$ respectivamente. Demuestre que $$ \frac{\sigma(A_1B_1C_1D_1)}{\sigma(ABCD)} \geq \frac{R_1^2}{R^2}$$ donde $\sigma(P)$ denota el área de un polígono $P.$

1: Sea $p$ un número primo (positivo). Suponga que los números reales $a_1, a_2, . . ., a_{p+1}$ tienen la propiedad de que, siempre que se elimina uno de los números, los restantes se pueden particionar en dos clases con la misma media aritmética. Demuestre que estos números deben ser iguales.

3: Determine todas las soluciones enteras de la ecuación $x^n+y^n=1994$ donde $n\geq 2$

4: Halle una sucesión de enteros positivos $f(n)$ , $n \in \mathbb{N}$ tal que $(1)$ $f(n) \leq n^8$ para todo $n \geq 2$ , $(2)$ para cualesquiera números naturales $a_1,a_2,\cdots, a_k$ y $n$ distintos por pares, se tiene que $$f(n) \neq f(a_1)+f(a_2)+ \cdots + f(a_k)$$

2. Halle todos los enteros positivos $a\in \{1,2,3,4\}$ tales que, si $b=2a$ , entonces existen infinitos enteros positivos $n$ para los cuales $$\underbrace{aa\dots aa}_\textrm{$2n$}-\underbrace{bb\dots bb}_\textrm{$n$}$$ es un cuadrado perfecto.

3. Las casillas de una tabla de $n \times n$ se llenan con los números $1,2,\dots,n$ en la primera fila, $n+1,n+2,\dots,2n$ en la segunda, y así sucesivamente hasta $n^2-n,n^2-n+1,\dots,n^2$ en la fila $n$ - ésima. Peter elige $n$ números de esta tabla de modo que no haya dos de ellos en la misma fila ni en la misma columna. A continuación, Peter calcula la suma $S$ de los números elegidos. Demuestre que Peter obtiene siempre el mismo valor para $S$ , sin importar cómo elija sus $n$ números.

4. Sea $n$ un entero positivo. Un \emph{pseudo-Gangnam Style} es una competencia de baile entre los jugadores $A$ y $B$ . En el instante $0$ , ambos jugadores miran hacia el norte. Para todo $k\ge 1$ , en el instante $2k-1$ , el jugador $A$ puede elegir quedarse quieto o girar $90^{\circ}$ en el sentido de las agujas del reloj, y el jugador $B$ está obligado a seguirlo; en el instante $2k$ , el jugador $B$ puede elegir quedarse quieto o girar $90^{\circ}$ en el sentido de las agujas del reloj, y el jugador $A$ está obligado a seguirlo. Después del instante $n$ , la música se detiene y la competencia termina. Si la posición final de ambos jugadores es el norte o el este, gana $A$ . Si la posición final de ambos jugadores es el sur o el oeste, gana $B$ . Determine quién tiene una estrategia ganadora cuando: (a) $n=2013^{2012}$ (b) $n=2013^{2013}$

5. Considere un triángulo $ABC$ con altura $AH$ y $H$ sobre $BC$ . Sean $\gamma_1$ y $\gamma_2$ las circunferencias de diámetros $BH,CH$ respectivamente, y sean $O_1$ y $O_2$ sus centros. Los puntos $X,Y$ están sobre $\gamma_1,\gamma_2$ respectivamente, tales que $AX,AY$ son tangentes a cada circunferencia y $X,Y,H$ son todos distintos. $P$ es un punto tal que $PO_1$ es perpendicular a $BX$ y $PO_2$ es perpendicular a $CY$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de $PXY$ y $AO_1O_2$ son tangentes entre sí.

1. Sea $f(n)$ el producto de todos los divisores de $n$ . Halle todos los números naturales $n$ tales que $f(n)$ no es una potencia perfecta de $n$ .