Determine todos los enteros $ k\ge 2$ tales que para todos los pares $ (m$ , $ n)$ de enteros positivos diferentes no mayores que $ k$ , el número $ n^{n-1}-m^{m-1}$ no es divisible por $ k$ .

Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $ AB$ y $ CD$ no son paralelos y $ AB=CD$ . Los puntos medios de las diagonales $ AC$ y $ BD$ son $ E$ y $ F$ , respectivamente. La línea $ EF$ se encuentra con los segmentos $ AB$ y $ CD$ en $ G$ y $ H$ , respectivamente. Demuestre que $ \angle AGH = \angle DHG$ .

Suponga que tenemos $ n \ge 3$ colores distintos. Sea $ f(n)$ el mayor entero con la propiedad de que cada lado y cada diagonal de un polígono convexo con $ f(n)$ vértices se puede colorear con uno de $ n$ colores de la siguiente manera: (i) Se utilizan al menos dos colores, (ii) tres vértices cualesquiera del polígono determinan tres segmentos del mismo color o de tres colores diferentes. Demuestre que $ f(n) \le (n-1)^2$ con igualdad para infinitos valores de $ n$ .

Encuentra todas las funciones $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , tal que \[ f(xf(y)) + f(f(x) + f(y)) = yf(x) + f(x + f(y))\] se cumple para todo $ x$ , $ y \in \mathbb{R}$ , donde $ \mathbb{R}$ denota el conjunto de los números reales.

Demuestra que para todos los números reales positivos $a,b,c$ se cumple la siguiente desigualdad\n\[ \frac{1}{b(a+b)}+ \frac{1}{c(b+c)}+ \frac{1}{a(c+a)} \geq \frac{27}{2(a+b+c)^2} . \]

Encuentra todos los enteros positivos que tienen exactamente 16 divisores positivos $1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_{16} =n$ tales que el divisor $d_k$ , donde $k = d_5$ , es igual a $(d_2 + d_4) d_6$ .

Dos círculos con centros $O_{1}$ y $O_{2}$ se encuentran en dos puntos $A$ y $B$ tales que los centros de los círculos están en lados opuestos de la línea $AB$ . Las líneas $BO_{1}$ y $BO_{2}$ se encuentran con sus respectivos círculos nuevamente en $B_{1}$ y $B_{2}$ . Sea $M$ el punto medio de $B_{1}B_{2}$ . Sean $M_{1}$ , $M_{2}$ puntos en los círculos de centros $O_{1}$ y $O_{2}$ respectivamente, tales que $\angle AO_{1}M_{1}= \angle AO_{2}M_{2}$ , y $B_{1}$ se encuentra en el arco menor $AM_{1}$ mientras que $B$ se encuentra en el arco menor $AM_{2}$ . Demuestra que $\angle MM_{1}B = \angle MM_{2}B$ .

El triángulo $ABC$ tiene $CA = CB$ . $P$ es un punto en la circunferencia circunscrita entre $A$ y $B$ (y en el lado opuesto de la línea $AB$ a $C$ ) . $D$ es el pie de la perpendicular desde $C$ a $PB$ . Demuestra que $PA + PB = 2 \cdot PD$ .

Sea $k \in \mathbb{Z}^+$ y sea $n=2^k+1.$ Demuestre que $n$ es un número primo si y solo si se cumple lo siguiente: existe una permutación $a_{1},\ldots,a_{n-1}$ de los números $1,2, \ldots, n-1$ y una secuencia de enteros $g_{1},\ldots,g_{n-1},$ tal que $n$ divide a $g^{a_i}_i - a_{i+1}$ para cada $i \in \{1,2,\ldots,n-1\},$ donde establecemos $a_n = a_1.$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncírculo $\Gamma$. Sea $\ell$ una línea tangente a $\Gamma$, y sean $\ell_a, \ell_b$ y $\ell_c$ las líneas obtenidas al reflejar $\ell$ en las líneas $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. Demuestra que el circuncírculo del triángulo determinado por las líneas $\ell_a, \ell_b$ y $\ell_c$ es tangente al círculo $\Gamma$.