2 Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que el mayor divisor primo de $n^4 + n^2 + 1$ es igual al mayor divisor primo de $(n+1)^4 + (n+1)^2 +1$ .

3 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle B > \angle C$ . Sean $P$ y $Q$ dos puntos distintos sobre la recta $AC$ tales que $\angle PBA = \angle QBA = \angle ACB $ y $A$ está situado entre $P$ y $C$ . Suponga que existe un punto interior $D$ del segmento $BQ$ para el cual $PD=PB$ . Sea la semirrecta $AD$ que corta al círculo $ABC$ en $R \neq A$ . Demuestre que $QB = QR$ .

4 Sea $\mathbb{Z}_{\ge 0}$ el conjunto de todos los enteros no negativos. Halle todas las funciones $f: \mathbb{Z}_{\ge 0} \rightarrow \mathbb{Z}_{\ge 0} $ que satisfacen la relación \[ f(f(f(n))) = f(n+1 ) +1 \] para todo $ n\in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ .

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con alturas $AD$ , $BE$ y $CF$ , y sea $O$ el centro de su circunferencia circunscrita. Demuestre que los segmentos $OA$ , $OF$ , $OB$ , $OD$ , $OC$ , $OE$ dividen al triángulo $ABC$ en tres pares de triángulos de áreas iguales.

2 Determine todos los enteros positivos $n$ para los cuales $\dfrac{n^2+1}{[\sqrt{n}]^2+2}$ es un entero. Aquí $[r]$ denota el mayor entero menor o igual que $r$ .

3 Para $2k$ números reales $a_1, a_2, ..., a_k$ , $b_1, b_2, ..., b_k$ defina una sucesión de números $X_n$ por \[ X_n = \sum_{i=1}^k [a_in + b_i] \quad (n=1,2,...). \] Si la sucesión $X_N$ forma una progresión aritmética, demuestre que $\textstyle\sum_{i=1}^k a_i$ debe ser un entero. Aquí $[r]$ denota el mayor entero menor o igual que $r$ .

4 Sean $a$ y $b$ enteros positivos, y sean $A$ y $B$ conjuntos finitos de enteros que satisfacen (i) $A$ y $B$ son disjuntos; (ii) si un entero $i$ pertenece a $A$ o a $B$ , entonces $i+a$ pertenece a $A$ o $i-b$ pertenece a $B$ . Demuestre que $a\left\lvert A \right\rvert = b \left\lvert B \right\rvert$ . (Aquí $\left\lvert X \right\rvert$ denota el número de elementos del conjunto $X$ . )

5 Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia $\omega$ , y sea $P$ un punto sobre la prolongación de $AC$ tal que $PB$ y $PD$ son tangentes a $\omega$ . La tangente en $C$ corta a $PD$ en $Q$ y a la recta $AD$ en $R$ . Sea $E$ el segundo punto de intersección entre $AQ$ y $\omega$ . Demuestre que $B$ , $E$ , $R$ son colineales.

1 Varios enteros positivos están escritos en una fila. Iterativamente, Alice elige dos números adyacentes $x$ y $y$ tales que $x>y$ y $x$ está a la izquierda de $y$ , y reemplaza el par $(x,y)$ por $(y+1,x)$ o por $(x-1,x)$ . Demuestre que ella solo puede realizar un número finito de tales iteraciones. Propuesto por Warut Suksompong, Tailandia

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico cuyas diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $E$ . Las prolongaciones de los lados $AD$ y $BC$ más allá de $A$ y $B$ se cortan en $F$ . Sea $G$ el punto tal que $ECGD$ es un paralelogramo, y sea $H$ la imagen de $E$ bajo reflexión en $AD$ . Demuestre que $D,H,F,G$ son concíclicos.