1 Si $ \frac{a }{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}$ es entero, muestre que $ abc$ es un cubo perfecto.

2 En el triángulo acutángulo $ABC$ , sea $AD$ , $D \in BC$ , la $A$ -bisectriz del ángulo. La perpendicular a $BC$ que pasa por $D$ y la perpendicular a $AD$ que pasa por $A$ se encuentran en $I$ . La circunferencia con centro $I$ y radio $ID$ interseca a $AB$ y $AC$ en $F$ y $E$ respectivamente. Sobre el arco $FE$ , que no contiene a $A$ , de la circunferencia circunscrita de $AFE$ , considere un punto $X$ tal que $\frac{XF}{XE}=\frac{AF}{AE}$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $AFE$ y $BXC$ son tangentes.

8 Sean $a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n$ $2n$ enteros positivos tales que los $n+1$ productos \[a_1 a_2 a_3 \cdots a_n, b_1 a_2 a_3 \cdots a_n, b_1 b_2 a_3 \cdots a_n, \dots, b_1 b_2 b_3 \cdots b_n\] forman una progresión aritmética estrictamente creciente en ese orden. Determine el menor entero posible que podría ser la diferencia común de tal progresión aritmética.

9 Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que $$f(xy+f(x^2))=xf(x+y)$$ para todos los reales $x, y$ .

10 Para enteros positivos $a, b, c$ (no necesariamente distintos), suponga que $a+bc, b+ac, c+ab$ son todos cuadrados perfectos. Muestre que $$a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)+2abc$$ puede escribirse como suma de dos cuadrados.

11 Determine la longitud máxima $L$ de una sucesión $a_1,\dots,a_L$ de enteros positivos que satisface ambas propiedades siguientes: cada término de la sucesión es menor o igual que $2^{2023}$ , y no existe una subsucesión consecutiva $a_i,a_{i+1},\dots,a_j$ (donde $1\le i\le j\le L$ ) con una elección de signos $s_i,s_{i+1},\dots,s_j\in\{1,-1\}$ para la cual \[s_ia_i+s_{i+1}a_{i+1}+\dots+s_ja_j=0.\]

12 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\omega$ y circuncentro $O$ . Los puntos $D\neq B$ y $E\neq C$ se encuentran sobre $\omega$ tales que $BD\perp AC$ y $CE\perp AB$ . Sea $CO$ que se encuentra con $AB$ en $X$ , y $BO$ que se encuentra con $AC$ en $Y$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BXD$ y $CYE$ tienen una intersección que se encuentra sobre la recta $AO$ . Ivan Chan Kai Chin, Malasia

1 Encuentre todas las ternas $(a, b, c)$ de enteros positivos tales que $a \leq b$ y \[a!+b!=c^4+2024\] Propuesto por Otgonbayar Uuye.

2 Llamamos a un triángulo que consiste en tres vértices de un pentágono grande si su área es mayor que la mitad del área del pentágono. Encuentre el número máximo de triángulos grandes que puede haber en un pentágono convexo. Propuesto por Gonchigdorj Radnaasumberel.

3 Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales positivos. Determine todas las funciones $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ tales que para todos los números reales positivos $x$ e $y$ : \[f(x)f(y+f(x))=f(1+xy)\] Propuesto por Otgonbayar Uuye.