1 Determine todos los pares $(x,y)$ de enteros que satisfacen \[(x+2)^4-x^4=y^3.\]

2 Determine el conjunto de todos los números reales $r$ para los cuales existe una sucesión infinita $a_1,a_2,\dots$ de enteros positivos que satisface las siguientes tres propiedades: (1) Ningún número aparece más de una vez en la sucesión. (2) La suma de dos elementos distintos de la sucesión nunca es una potencia de dos. (3) Para todo entero positivo $n$ , se tiene que $a_n<r \cdot n$ .

3 Sea $ABC$ un triángulo. Para un punto $P$ en su interior, trazamos las tres rectas que pasan por $P$ paralelas a los lados del triángulo. Esto particiona $ABC$ en tres triángulos y tres cuadriláteros. Sea $V_A$ el área del cuadrilátero que tiene a $A$ como uno de sus vértices. Sea $D_A$ el área del triángulo que tiene una parte de $BC$ como uno de sus lados. Defina $V_B, D_B$ y $V_C, D_C$ de manera análoga. Determine todos los valores posibles de $\frac{D_A}{V_A}+\frac{D_B}{V_B}+\frac{D_C}{V_C}$ , cuando $P$ varía en el interior del triángulo.

4 En Sikinia hay $2024$ ciudades. Entre algunas de ellas hay conexiones aéreas, que pueden usarse en cualquiera de los dos sentidos. Ninguna ciudad tiene un vuelo directo a las otras $2023$ ciudades. Sin embargo, se sabe que existe un entero positivo $n$ con la siguiente propiedad: para cualesquiera $n$ ciudades de Sikinia, hay otra ciudad que está directamente conectada con todas esas ciudades. Determine el mayor valor posible de $n$ .

3 Sea $ABC$ un triángulo. Sean $M$ y $N$ los puntos en los que la mediana y la bisectriz del ángulo en $A$, respectivamente, cortan al lado $BC$. Sean $Q$ y $P$ los puntos en los que la perpendicular por $N$ a $NA$ corta a $MA$ y a $BA$, respectivamente. Y sea $O$ el punto en el que la perpendicular por $P$ a $BA$ corta a la prolongación de $AN$. Demuestra que $QO$ es perpendicular a $BC$.

3 Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros. Denotamos $\deg(P)$ su grado, que es $\geq 1.$ Sea $n(P)$ el número de todos los enteros $k$ para los cuales se tiene $(P(k))^{2}=1.$ Demuestra que $n(P)- \deg(P) \leq 2.$

4 La suma de los cuadrados de cinco números reales $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ es igual a $1$. Demuestra que el menor de los números $(a_i - a_j)^2$, donde $i, j = 1, 2, 3, 4, 5$ y $i \neq j$, no excede $\frac{1}{10}$. Amir

5 Sean \(A_r,B_r, C_r\) puntos sobre la circunferencia de un círculo dado \(S\). A partir del triángulo \(A_rB_rC_r\), llamado \(\Delta_r\), se obtiene el triángulo \(\Delta_{r+1}\) construyendo los puntos \(A_{r+1},B_{r+1}, C_{r+1}\) sobre \(S\) tales que \(A_{r+1}A_r\) es paralelo a \(B_rC_r\), \(B_{r+1}B_r\) es paralelo a \(C_rA_r\), y \(C_{r+1}C_r\) es paralelo a \(A_rB_r\). Cada ángulo de \(\Delta_1\) es un número entero de grados y esos enteros no son múltiplos de \(45\). Demuestra que al menos dos de los triángulos \(\Delta_1,\Delta_2, \ldots ,\Delta_{15}\) son congruentes. Amir

6 Demuestra que para cualquier \( n \) natural, el número \[ \sum \limits_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{2k+1} 2^{3k} \] no puede ser divisible por \( 5 \).

1 Demuestre si existen o no números naturales $n,k$ con $1\le k\le n-2$ tales que \[\binom{n}{k}^2+\binom{n}{k+1}^2=\binom{n}{k+2}^4 \]