Un entero $n\geq 2$ se dice tuanis si al sumar el menor divisor primo de $n$ y el mayor divisor primo de $n$ (pueden ser iguales), se obtiene un numero impar. Calcula la suma de todos los numeros tuanis menores o iguales a 2023.

En un estanque se encuentran $n\geq 3$ piedras puestas en una circunferencia. Una princesa quiere etiquetar las piedras con los numeros $1,2,\ldots, n$ en algun orden y despues colocar sapos sobre las piedras. Una vez que todos los sapos esten colocados, empiezan a saltar en el sentido de las manecillas del relojm de acuerdo a la siguiente regla: cuando un sapo llega a la piedra etiquetada $k$, espera $k$ minutos y luego salta a la siguiente piedra. Si en ningun momento pueden dos sapos ocupar la misma piedra, Cual es la mayor cantidad de sapos para los cuales la princesa puede etiquetar las piedras antes de colocar los sapos?

Sea $ABC$ un triangulo acutangulo con $AB<AC$ y $\Gamma$ la circunferencia que pasa por $A,B$ y $C$. Sean $D$ el punto diametralmente opuesto a $A$ en $\Gamma$ y $\ell$ la recta tangente a $\Gamma$ en $D$. Sean $P$, $Q$ y $R$ ;as intersecciones de $BC$ con $\ell$, de $AP$ con $\Gamma$ tal que $Q\neq A$ y de $QD$ con la altura del triangulo $ABC$ por $A$, respectivamente. Se definen el punto $S$ como la interseccion de $AB$ con $\ell$ y $T$ como la interseccion de $AC$ con $\ell$. Demuestra que $S$ y $T$ pertenecen a la circunferencia que pasa por $A,Q$ y $R$.

Un numero de cuatro cifras $n=\overline{abcd}$, donde $a,b,c$ y $d$ son digitos con $a\neq 0$ se denomina guanaco si el producto $\overline{ab}\times \overline{cd}$ es un divisor de $n$. Encuentra todos los numeros guanacos que existen.

Sean $a,b,c$ numeros reales positivos tales que $ab+bc+ca=1$. Demuestra que $$\frac{a^3}{a^2+3b^2+3ab+2bc}+\frac{b^3}{b^2+3c^2+3bc+2ca}+\frac{c^3}{c^2+3a^2+3ca+2ab}> \frac{1}{6(a^2+b^2+c^2)}$$

Octavio escribe un entero $n\geq 1$ en un pizarron y luego inicia un proceso en el que en cada paso borra el numero $k$ escrito en el pizarron y lo reemplaza por uno de los siguientes numeros, siempre y cuando sean enteros: $$3k-1,\quad 2k+1,\quad \frac{k}{2}$$ Demuestra que para todo entero $n\geq 1$, Octavio puede llegar a escribir en el pizarron el numero $3^{2023}$ luego de una cantidad finita de pasos.

Una coloracion del conjunto de los enteros mayores o iguales que $1$, debe hacerse con la siguiente regla: cada numero se colorea de azul o rojo, de manera que la suma de cualesquiera dos numeros (no necesariamente distintos) del mismo color, sea azul. Determina todas las coloraciones posibles del conjunto de los enteros mayores o iguales a $1$, que sigan esta regla.

Sean $a,b,c$ reales positivos tales que $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ demuestra que se cumple la siguiente desigualdad $$\frac{1}{(2a+b+c)^2}+\frac{1}{(a+2b+c)^2}+\frac{1}{(a+b+2c)^2}\leq\frac{3}{16} .$$

El caracolito Turbo esta sobre un punto de una circunferencia de longitud $1$. Sea $c_1,c_2,c_3,\ldots$ una ducesion de numeros reales positivos. Turbo se arrastra sucesivamente distancias de $c_1,c_2,\ldots$ sobre la circunferencia, eligiendo cada vez el sentido: horario o antihorario. Por ejemplo, si la sucesion es $0.4,0.6,0.3,\ldots$ entonces Turbo pudo haber elegido moverse como en Fig1. Determina la mayor constante $C>0$ con la siguiente propiedad: para toda sucesion de numeros reales positivos $c_1,c_2,\ldots$ tales que $c_i<C$ para toda $i$, Turbo puede asegurar (tras haber estudiado la sucesion) que hay un punto de la circunferencia al que nuna llegara ni por el que se arrastrara.

Sea $k$ un entero positivo. Alexa tiene un disccionario $\mathcal{D}$ que contiene algunas palabras de $k$ letras formadas solo con las letras $A$ y $B$. En cada casilla de un tablero de $k\times k$, Alexa quiere escribir solo la letra $A$ o $B$ de manera que cada columna contenga una palabra de $\mathcal{D}$ cuando es leida de arriba a abajo y cada fila cuando es leida de izquierda a derecha. ¿Cual es el menor entero $m$ tal que si $\mathcal{D}$ tiene por lo menos $m$ palabras diferentes, entonces Alexa siempre puede llenar su tablero de esta manera?