Cuantos subconjuntos de $\{1,2,\ldots, 1000\}$ tienen una suma divisible entre $3$.

Sea $T$ el conjunto de todas las tercias de enteros positivos que forman un triangulo. Calcula $$\sum_{(a,b,c)\in T} \frac{2^a}{3^b5^c}$$

Sean $a_0,a_1,\ldots, a_n$ y $0<x<1$ numeros reales tales que $$\frac{a_0}{1-x}+\frac{a_1}{1-x^2}+\cdots +\frac{a_n}{1-x^{n+1}}=0.$$ Demuestra que existe un real $0<y<1$ tal que $$a_0+a_1y+\cdots+a_ny^n=0.$$

En ocasiones es util que cuando una suma solo se da cuando algo es multiplo de $n$ se puede ver como una suma que sucede con raices $n$-esimas de la unidad. Esto pues tenemos que si la raiz $n$-esima es $\omega$ entonces $$1+\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{n-1}=0.$$ Un ejemplo de como esto puede ser util es caluclar la siguiente suma. $$\sum_{k\geq 0} {1000 \choose 3k}.$$ Podemos reescribir esto como $$\frac{1}{3}\sum_{k\geq 0} {1000\choose k}(1+\omega^n+\omega^{2n})$$ donde $\omega$ es la raiz cubica de $1$. Pues $1+\omega^n+\omega^{2n}$ es $3$ si $3|n$ y es $0$ si no. Podemos luego reescribir esta suma de la siguiente forma $$\frac{1}{3}\sum_{n\geq 0}{1000\choose n}(1+\omega^n+\omega^{2n})=\frac{1}{3}(\sum_{n\geq 0}{1000\choose n}+\sum_{n\geq 0}{1000\choose n}\omega^n+\sum_{n\geq 0}{1000\choose n}\omega^{2n})$$$$=\frac{1}{3}(2^{1000}+(1+\omega)^{1000}+(1+\omega^2)^{1000}$$$$=\frac{1}{3}(2^{1000}+(-\omega^2)^{1000}+(-\omega)^{1000})$$$$=\frac{1}{3}(2^{1000}+\omega+\omega^2)=\frac{2^{1000}-1}{3}$$

Sea $n$ un entero positivo. Demuestra que $$\sum_{k\geq 1} \varphi(k)\lfloor\frac{n}{k}\rfloor=\frac{n(n+1)}{2}$$

Cuando tienes una suma en dos variables por ejemplo $$\sum_{a=1}^n\sum_{b= 1}^n a^2(b^3-1)$$ la doble suma se puede factorizar en el producto de dos sumas $$\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^n a^2(b^3-1)=(\sum_{a=1}^n a^2)(\sum_{b=1}^n b^3-1).$$

En varias ocasiones una expresion se puede escribir como una doble suma $$\sum_{a\in A}\sum_{b\in B} f$$ y aunque como esta escrito puede ser complicado, varias veces esto se ""arregla"" con cambiar el orden de la suma. Por ejemplo puede ser mas sencillo $$\sum_{a\in A}\sum_{b\in B}f=\sum_{b\in B}\sum_{a\in A}f$$ incluso puedes hacer un cambio de variable por ejemplo. $$\sum_{a\geq 0}\sum_{b\geq 0}f=\sum_{k\geq 0} \sum_{a+b=k}f.$$

Sea $n\geq 2$ un entero. Lucia escoge $n$ numeros reales $x_1,x_2,\ldots, x_n$ tales que $|x_i-x_j|\geq 1$ $\forall i\neq j$. Despues, escribe en cada uno de los cuadrados de un tablero de $n\times n$ uno de estos numeros de forma que en cada fila y columna no se repita ningun numero. Despues de esto Lucia calcula por cada cuadrado el valor absoluto de la diferencia entre el numero en ese cuadrado y el que esta en el primer cuadrado de su fila. Determina cual es el menor valor posible de la suma de todas estas $n^2$ diferencias.

Encuentra todas las parejas de primos $(p,q)$ tales que $$6pq\mid p^3+q^2+38.$$

En cada casilla de una cuadricula de $n\times n$ se escribe $0,1$ o $2$. Determina todos los enteros positivos $n$ para los que existe una forma de llenar la cuadricula de $n\times n$ de manera que al calcular la suma de todas las filas y de las columnas, se obtienen todos los numeros $1,2,\ldots, 2n$.