Sea $p$ un primo impar y $a_1, a_2,...,a_p$ enteros. Demuestre que las siguientes dos condiciones son equivalentes: 1) Existe un polinomio $P(x)$ con grado $\leq \frac{p-1}{2}$ tal que $P(i) \equiv a_i \pmod p$ para todo $1 \leq i \leq p$ 2) Para cualquier natural $d \leq \frac{p-1}{2}$ , $$\sum_{i=1}^p (a_{i+d} - a_i )^2 \equiv 0 \pmod p$$ donde los índices se toman $\pmod p$

En $\triangle AEF$ , sean $B$ y $D$ en los segmentos $AE$ y $AF$ respectivamente, y sean $ED$ y $FB$ que se intersectan en $C$ . Defina $K,L,M,N$ en los segmentos $AB,BC,CD,DA$ tales que $\frac{AK}{KB}=\frac{AD}{BC}$ y sus equivalentes cíclicos. Sea la circunferencia inscrita de $\triangle AEF$ que toca a $AE,AF$ en $S,T$ respectivamente; sea la circunferencia inscrita de $\triangle CEF$ que toca a $CE,CF$ en $U,V$ respectivamente. Demuestre que $K,L,M,N$ concíclicos implica que $S,T,U,V$ son concíclicos.

Sean $a_1,a_2,\cdots, a_{31} ;b_1,b_2, \cdots, b_{31}$ enteros positivos tales que $a_1< a_2<\cdots< a_{31}\leq2015$ , $ b_1< b_2<\cdots<b_{31}\leq2015$ y $a_1+a_2+\cdots+a_{31}=b_1+b_2+\cdots+b_{31}.$ Encuentre el valor máximo de $S=|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+\cdots+|a_{31}-b_{31}|.$

Sean $a$ , $b$ , $c$ números reales positivos que satisfacen $abc=1$ . Pruebe que la desigualdad $\dfrac{a^k}{a+b}+ \dfrac{b^k}{b+c}+\dfrac{c^k}{c+a}\ge \dfrac{3}{2}$ se cumple para todo entero $k$ ( $k \ge 2$ ) .

Encuentre todas las ternas $(a,b,c)$ que satisfacen las siguientes condiciones: (i) $a,b,c$ son números primos, donde $a<b<c<100$ . (ii) $a+1,b+1,c+1$ forman una secuencia geométrica.

En el triángulo rectángulo $ABC$ , $\angle C=90$ ° , El punto $D$ es el punto medio del lado $AB$ . Los puntos $M$ y $C$ están en el mismo lado de $AB$ tal que $MB\bot AB$ , la línea $MD$ intersecta el lado $AC$ en $N$ , la línea $MC$ intersecta el lado $AB$ en $E$ . Demuestre que $\angle DBN=\angle BCE$ .

Sea $f(x)$ una función que satisface $f(x+1)-f(x)=2x+1 (x \in \mathbb{R})$ . Además, $|f(x)|\le 1$ se cumple para $x\in [0,1]$ . Pruebe que $|f(x)|\le 2+x^2$ se cumple para $x \in \mathbb{R}$ .

Una secuencia de enteros positivos con $n$ términos satisface $\sum_{i=1}^{n} a_i=2007$ . Encuentre el entero positivo más pequeño $n$ tal que existan algunos términos consecutivos en la secuencia con su suma igual a $30$ .

Sea $a_i=min\{ k+\dfrac{i}{k}|k \in N^*\}$ , determine el valor de $S_{n^2}=[a_1]+[a_2]+\cdots +[a_{n^2}]$ , donde $n\ge 2$ . ( $[x]$ denota el mayor entero que no excede a x)

$AB$ es el diámetro de la semicircunferencia $O$ . $C$ , $D$ son dos puntos arbitrarios en la semicircunferencia $O$ . El punto $P$ está en la línea $CD$ tal que la línea $PB$ es tangente a la semicircunferencia $O$ en $B$ . La línea $PO$ intersecta las líneas $CA$ , $AD$ en los puntos $E$ , $F$ respectivamente. Pruebe que $OE$ = $OF$ .