Se tienen $n \geq 3$ reales positivos $a_1,a_2,\ldots, a_n$. Para cada $a\leq i\leq n$ se define $b_i=\frac{a_{i-1}+a_{i+1}}{a_i}$ donde $a_0=a_n$ y $a_{n+1}=a_1$. Supon que para cada $1\leq i\leq n$ y cada $1\leq j\leq n$ se tiene que $a_i\leq a_j$ si y solo si $b_i\leq b_j$. \nDemuestra que $a_1=a_2=\cdots=a_n$.

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$, $b_1,b_2,\ldots, b_n$, $\cdots$, $z_1,z_2,\cdots, z_n$ $m$ secuencias de reales positivos. Y sean $\lambda_a, \lambda_b,\ldots, \lambda_z$ $m$ reales positivos tales que $\lambda_a+\lambda_b+\cdots+\lambda_z=1$. Entonces tenemos\n$$(a_1+a_2+\cdots+a_n)^{\lambda_a}(b_1+b_2+\cdots+b_n)^{\lambda_a}\cdots (z_1+z_2+\cdots+z_n)^{\lambda_z}\geq \sum_{i=1}^n a_i^{\lambda_a}b_i^{\lambda_b}\cdots z_i^{\lambda_z}$$\nLa igualdad se da cuando $$a_1:a_2:\cdots:a_n\equiv b_1:b_2:\cdots:b_n\equiv \cdots \equiv z_1:z_2:\cdots:z_n$$

Sean $x_1,x_2,\cdots x_n$ y $y_1,y_2,\cdots, y_n$ secuencias de reales positivos. Entonces tenemos $$\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}+\cdots+\frac{x_n^2}{y_n}\geq \frac{(x_1+x_2+\cdots+x_n)^2}{y_1+y_2+\cdots+y_n}$$

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ y $b_1,b_2,\ldots,b_n$ secuencias de reales positivos. Entonces $$(a_1+\cdots +a_n)(b_1+\cdots+b_n)\geq (\sqrt{a_1b_1}+\sqrt{a_2b_2}+\cdots +\sqrt{a_nb_n})^2$$\nLa igualdad se tiene si y solo si $$a_1:a_2:\cdots:a_n\equiv b_1:b_2:\cdots:b_n.$$

Sean $a_1,a_2,\ldots, a_n$ reales y ademas fijemos $a_1+a_2+\cdots +a_n$. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una function con exactamente un punto de inflexion ($f''(x)=0$). Si $$f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_n)$$ tiene un punto maximo o minimo entonces $n-1$ de las $a_i's$ son iguales entre si.

Sean $a_1,a_2,\ldots, a_n$ reales y $a=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$, en ocasiones aun si una funcion $f$ no es convexa la desigualdad $f(x)\geq f(a)+f'(a)(x-a)$ se cumple y puede ser relativamente sencilla de probar. \nUn ejemplo es el siguiente. emuestra que $$\sum_{cyc} \frac{(b+c-a)^2}{a^2+(b+c)^2}\geq \frac{3}{5}.$$\nComo la desigualdad es homogenea podemos asumir s.p.g. $a+b+c=3$. Reescribimos la desigualdad como $$\sum_{cyc} \frac{(3-2a)^2}{a^2+(3-a)^2}\geq \frac{3}{5}$$ y con $f(x)=\frac{(3-2x)^2}{x^2+(3-x)^2}$ tenemos que $f'(x)=\frac{-18(3-2x)}{(2x^2-6x+9)^2}$ entonces $f(1)=\frac{1}{5}$, $f'(1)=\frac{18}{25}$ y finalmente vemos que $$f(a)=\frac{(3-2a)^2}{a^2+(3-a)^2}\geq \frac{1}{5}-\frac{18}{25}(a-1)=f(1)-f'(1)(a-1)$$ $$\iff \frac{18}{25}(a-1)^2\frac{2a+1}{2a^2-6a+9}\geq 0$$\nY sumando las desigualdades para $a,b,c$ tenemos la desigualdad que queriamos.

Si $f$ es una funcion convexa, y $(x_n)$ mayoriza a $(y_n)$ entonces $$f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)\geq f(y_1)+f(y_2)+\cdots+f(y_n).$$ Si $f$ es concava entonces la desigualdad opuesta se da.

Si $f$ es una funcion convexa, entonces tenemos\n$$\frac{f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_n)}{n}\geq f(\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}).$$\nSi $f$ es concava entonces la desigualdad opuesta se da.

Sea $f: (a,b)\to \mathbb{R}$ una funcion. Decimos que $f$ es ${\bf convexa}$ en $(a,b)$ si se cumple que para todo $x,y\in (a,b)$ y $0\leq t\leq 1$ tenemos \n$$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)$$\nY es ${\bf concava}$ cuando la deigualdad opuesta se da. Por esto $f$ es convexa si y solo si $-f$ es concava.\nCuando $f$ es dos veces diferenciable una manera equivalente a saber si es convexa es si $f''(x)\geq 0$ para todo $x$. Y es concava cuando $f''(x)\leq 0$.

Varias de las desigualdades mas comunes son desigualdades homogeneas, queriendo decir que los terminos de ambos lados tienen el mismo grado si los pensamos como polinomios.\nPero en ocasiones cuando las desigualdades no son homogeneas varias veces hay condiiones extras o transformaciones que podemos hacer para homogenizar.\nPor ejemplo en este problema:\nDados reales positivos $a,b,c$ tales que $abc=1$, demuestra que $$a^4+b^4+c^4\geq a+b+c.$$\nPodemos multiplicar el lado derecho por $abc$ para obtener $$a^4+b^4+c^4\geq a^2bc+ab^2c+abc^2$$ la cual se puede probar de manera sencilla con MA-MG utilizando la desigualdad $$\frac{a^4}{4}+\frac{a^4}{4}+\frac{b^4}{4}+\frac{c^4}{4}\geq \sqrt[4]{a^4a^4b^4c^4}=a^2bc$$ y sus variaciones ciclicas.