$AA'BCC'B'$ es un hexágono convexo cíclico tal que $AC$ es tangente a la incírculo del triángulo $A'B'C'$, y $A'C'$ es tangente al incírculo del triángulo $ABC$. Las líneas $AB$ y $A'B'$ se intersecan en $X$ y las líneas $BC$ y $B'C'$ se intersecan en $Y$. Demuestra que si $XBYB'$ es un cuadrilátero convexo, entonces tiene un incírculo.

Sean $ABC$ y $A'B'C'$ dos triángulos con el mismo circuncírculo $\omega$ y el mismo ortocentro $H$. $\Omega$ es el circumcírculo del triángulo determinado por las líneas $AA'$, $BB'$ y $CC'$. Demuestra que $H$, el centro de $\omega$, y el centro de $\Omega$ son colineales.

En un triángulo acutángulo $ABC$, el punto $H$ es el pie de la altura desde $A$. Sea $P$ un punto móvil tal que las bisectrices $k$ y $\ell$ de los ángulos $PBC$ y $PCB$, respectivamente, se intersecan en el segmento $AH$. $k$ interseca a $AC$ en $E$, y $\ell$ interseca a $AB$ en $F$, y $EF$ interseca a $AH$ en $Q$. Demuestra que, mientras $P$ varía, la línea $PQ$ pasa por un punto fijo.

Sea $ABC$ un triángulo, y sean $\ell_1$ y $\ell_2$ dos líneas paralelas. Para $i = 1, 2$, la linea $\ell_i$ interseca a las líneas $BC$, $CA$ y $AB$ en $X_i$, $Y_i$ y $Z_i$, respectivamente. Supongamos que la línea a través de $X_i$ perpendicular a $BC$, la línea a través de $Y_i$ perpendicular a $CA$, y finalmente la línea a través de $Z_i$ perpendicular a $AB$, determinan un triángulo no degenerado $\triangle_i$. Demuestra que los circuncírculos de $\triangle_1$ y $\triangle_2$ son tangentes entre sí.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC > AB$, sea $O$ su circumcentro, y sea $D$ un punto en el segmento $BC$. La línea a través de $D$ perpendicular a $BC$ interseca las líneas $AO$, $AC$ y $AB$ en $W$, $X$ y $Y$, respectivamente. Los circuncírculos de los triángulos $AXY$ y $ABC$ se intersecan nuevamente en $Z\neq A$. Demuestra que si $OW = OD$, entonces $DZ$ es tangente al círculo $AXY$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Supongamos que los puntos $Q$, $A$, $B$, $P$ son colineales en este orden, de tal manera que la línea $AC$ es tangente al círculo $ADQ$ y la línea $BD$ es tangente al círculo $BCP$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BC$ y $AD$, respectivamente. Demuestra que las siguientes tres líneas son concurrentes: la línea $CD$, la tangente del círculo $ANQ$ por $A$, y la tangente al círculo $BMP$ por $B$.

En el triángulo acutángulo $ABC$, el punto $F$ es el pie de la altura desde $A$, y $P$ es un punto en el segmento $AF$. Las líneas a través de $P$ paralelas a $AC$ y $AB$ se intersecan con $BC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Los puntos $X\neq A$ y $Y\neq A$ estan en los círculos $ABD$ y $ACE$, respectivamente, de manera que $DA = DX$ y $EA = EY$. Demuestra que $B$, $C$, $X$ y $Y$ son concíclicos.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $BC = DE$. Supongamos que hay un punto $T$ dentro de $ABCDE$ tal que $TB = TD$, $TC = TE$ y $\angle TBA = \angle AET$. Las líneas $CD$ y $CT$ intersecan a la línea $AB$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente, y las líneas $CD$ y $DT$ intersecan a la línea $AE$ en los puntos $R$ y $S$, respectivamente. Supongamos que los puntos $P$, $B$, $A$, $Q$ y $R$, $E$, $A$, $S$ son respectivamente colineales y están en ese orden. Demuestra que los puntos $P$, $S$, $Q$ y $R$ son concíclicos.

Sea $\mathbb{Z}_{\geq 0}$ el conjunto de enteros no negativos, y sea $f : \mathbb{Z}_{\geq 0} \times \mathbb{Z}_{\geq 0} \to \mathbb{Z}_{\geq 0}$ una biyección tal que cada vez que $f(x_1, y_1) > f(x_2, y_2)$, se cumple que $f(x_1 + 1, y_1) > f(x_2 + 1, y_2)$ y $f(x_1, y_1 + 1) >f(x_2, y_2 + 1)$. Sea $N$ el número de pares de enteros $(x, y)$, con $0 \leq x, y \leq 100$, tal que $f(x, y)$ es impar. Encuentra el valor más pequeño y más grande posible de $N$.

Alicia llena las casillas de un tablero de $n \times n$ con números del $1$ al $n^2$, usando cada número exactamente una vez. Luego cuenta el número total de "caminos buenos" en el tablero. Un camino bueno es una secuencia de casillas de longitud arbitraria (incluyendo $1$) tal que: (i) La primera casilla en la secuencia es una que solo es adyacente a casillas con números más grandes. (ii) Cada siguiente casilla en la secuencia es adyacente a la casilla anterior. (iii) Los números escritos en las casillas de la secuencia están en orden creciente. Dos casillas se consideran adyacentes si comparten un lado en común. Encuentra el mínimo numero posible de caminos buenos que Alicia puede obtener, en función de $n$.