Sea $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_t^{a_t}$ la factorización prima de $n$ . Defina $\omega(n)=t$ y $\Omega(n)=a_1+a_2+\ldots+a_t$ . Pruebe o refute: Para cualquier entero positivo fijo $k$ y reales positivos $\alpha,\beta$ , existe un entero positivo $n>1$ tal que i) $\frac{\omega(n+k)}{\omega(n)}>\alpha$ ii) $\frac{\Omega(n+k)}{\Omega(n)}<\beta$ .

Demuestre que: existe solo una función $f:\mathbb{N^*}\to\mathbb{N^*}$ que satisface: i) $f(1)=f(2)=1$ ; ii ) $f(n)=f(f(n-1))+f(n-f(n-1))$ para $n\ge 3$ . Para cada entero $m\ge 2$ , encuentre el valor de $f(2^m)$ .

Para el entero $n>1$ , defina $D(n)=\{ a-b\mid ab=n, a>b>0, a,b\in\mathbb{N} \}$ . Demuestre que para cualquier entero $k>1$ , existen enteros positivos distintos por pares $n_1,n_2,\ldots,n_k$ tales que $n_1,\ldots,n_k>1$ y $|D(n_1)\cap D(n_2)\cap\cdots\cap D(n_k)|\geq 2$ .

Sea $ABC$ un triángulo con $AB>AC$ . Sea $D$ el pie de la bisectriz interna del ángulo $A$ . Los puntos $F$ y $E$ están en $AC,AB$ respectivamente tales que $B,C,F,E$ son concíclicos. Demuestre que el circuncentro de $DEF$ es el incentro de $ABC$ si y solo si $BE+CF=BC$ .

Dados los enteros positivos $m,n(2\le m\le n)$ , sean $a_1,a_2,\ldots ,a_m$ una permutación de cualquier $m$ números distintos por pares tomados de $1,2,\ldots ,n$ . Si existe $k\in\{1,2,\ldots ,m\}$ tal que $a_k+k$ es impar, o existen enteros positivos $k,l(1\le k<l\le m)$ tales que $a_k>a_l$ , entonces llame a $a_1,a_2,\ldots ,a_m$ una buena secuencia. Encuentre el número de buenas secuencias.

Demuestre que existen infinitos triples de enteros positivos $(a,b,c)(a,b,c>2015)$ tales que $$ a|bc-1, b|ac+1, c|ab+1.$$

En el $\triangle ABC$ isósceles, $AB=AC$ , $I$ es su incentro, $D$ es un punto dentro del $\triangle ABC$ tal que $I,B,C,D$ son concíclicos. La línea que pasa por $C$ paralela a $BD$ se encuentra con $AD$ en $E$ . Demuestre que $CD^2=BD\cdot CE$ .

Sean $a,b,c$ números reales no negativos. Demuestre que $$\frac{(a-bc)^2+(b-ca)^2+(c-ab)^2}{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}\geq\frac{1}{2}.$$

Encuentre todos los enteros positivos $k$ tales que para cualquier entero positivo $n$ , $2^{(k-1)n+1}$ no divide a $\frac{(kn)!}{n!}$ .

$P$ es un punto en el arco $\overarc{BC}$ de la circunferencia circunscrita del $\triangle ABC$ que no contiene a $A$ , $K$ está en el segmento $AP$ tal que $BK$ biseca a $\angle ABC$ . La circunferencia circunscrita del $\triangle KPC$ se encuentra con $AC,BD$ en $D,E$ respectivamente. $PE$ se encuentra con $AB$ en $F$ . Demuestre que $\angle ABC=2\angle FCB$ .