g8 Los segmentos $AC=6$ y $BD=4$ se intersectan en el punto $O$ formando un ángulo recto, de modo que $AO=2$ y $OD=3$. Las rectas $AB$ y $DC$ se intersectan en $E$, y la recta $EO$ intersecta al segmento $AD$ en el punto $F$. Encuentra la longitud de $EF$.

Sea $ABC$ un triángulo con $BC=2551$, $AC=2550$ y $AB=2549$, con $AD$ la altura. Sea la circunferencia inscrita del triángulo $BAD$ que interseca a $AD$ en el punto $E$. Sea la circunferencia inscrita del triángulo $CAD$ que interseca a $AD$ en el punto $F$. Encuentra la longitud de $EF$.

1b En Duckville hay un trofeo perpetuo con las palabras "Mejor niño de Duckville" grabadas en él. Cada habitante de Duckville tiene una lista no vacía (que nunca cambia) de otros habitantes de Duckville. Quien recibe el trofeo puede quedárselo por un día, y luego se lo pasa a alguien de su lista al día siguiente. Gregers ha recibido el trofeo anteriormente. Resulta que cada vez que lo recibe, tiene garantizado recibirlo de nuevo exactamente $2025$ días después (pero quizás también antes). Hedvig recibió el trofeo hoy. Determina todos los enteros $n>0$ para los cuales podemos estar absolutamente seguros de que ella no puede recibir el trofeo de nuevo en $n$ días, dada la información anterior.

2b ¿Qué enteros positivos \(a\) tienen la propiedad de que \(n!-a\) es un cuadrado perfecto para infinitos enteros positivos \(n\)?

Un par de enteros positivos $(m,n)$ se llama 'steakmaker' si satisface la ecuación 1 + 2 $^m$ = n $^2$. ¿Para qué valores de $m$ y $n$ el par $(m,n)$ es steakmaker? Halle la suma de $mn$.

1 Sea $ABC$ un triángulo con baricentro $G$ . Los puntos $R$ y $S$ se eligen en los rayos $GB$ y $GC$ , respectivamente, de modo que \[ \angle ABS=\angle ACR=180^\circ-\angle BGC.\] Demuestre que $\angle RAS+\angle BAC=\angle BGC$ . Merlijn Staps

7 Sobre la mesa hay $2n$ monedas que parecen iguales. Se sabe que $n$ de ellas pesan 9 g. cada una, mientras que las restantes $n$ pesan 10 g. cada una. Se requiere dividir las monedas en $n$ pares con peso total de cada par 19 g. Demuestre que esto puede hacerse en menos de $n$ pesadas usando una balanza sin pesas adicionales (la balanza muestra qué platillo es más pesado o que sus pesos son iguales).

Los adultos constituían $\frac5{12}$ de la multitud de personas en un concierto. Después de que llegó un autobús con $50$ personas más, los adultos pasaron a ser $\frac{11}{25}$ de las personas en el concierto. Encuentra el número mínimo de adultos que podría haber habido en el concierto después de que llegó el autobús.

3 En el trapecio isósceles $ABCD$, las bases paralelas $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ tienen longitudes $500$ y $650$, respectivamente, y $AD=BC=333$. Las bisectrices de los ángulos $\angle{A}$ y $\angle{D}$ se intersectan en $P$, y las bisectrices de los ángulos $\angle{B}$ y $\angle{C}$ se intersectan en $Q$. Encuentra $PQ$.

4 Hay un número real positivo $x$ distinto de $\tfrac{1}{20}$ y de $\tfrac{1}{2}$ tal que $$\log_{20x} (22x)=\log_{2x} (202x).$$ El valor $\log_{20x} (22x)$ se puede escribir como $\log_{10} (\tfrac{m}{n})$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m+n$.