Prueba de Selección de Equipos de Irán 2010 Problema 10
10 En cada cuadrado de $1\times1$ de una tabla de $m\times n$ hemos dibujado una de las dos diagonales. Demuestre que hay un camino que incluye estas diagonales ya sea del lado izquierdo al lado derecho, o del lado superior al lado inferior. Omid
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Prueba de Selección de Equipos de Irán 2010 Problema 11
11 Sean $O, H$ el circuncentro y el ortocentro del triángulo $ABC$ . $M,N$ son los puntos medios de $BH$ y $CH$ . $BB'$ es un diámetro de la circunferencia circunscrita. Si $HONM$ es un cuadrilátero cíclico, demuestre que $B'N=\frac12AC$ . Omid
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Prueba de Selección de Equipos de Irán 2010 Problema 12
12 Demuestre que para cada número natural $m$ , hay un número natural $N$ tal que para cada $b$ con $2\leq b\leq1389$ la suma de los dígitos de $N$ en base $b$ es mayor que $m$ . Omid
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Prueba de Selección de Equipos de Irán 2009 Problema 1
1 Sea $ ABC$ un triángulo y sean $ A'$ , $ B'$ y $ C'$ en $ BC$ , $ CA$ y $ AB$ respectivamente tales que el incentro de $ A'B'C'$ y de $ ABC$ coinciden y el inradio de $ A'B'C'$ es la mitad del inradio de $ ABC$ . Demuestre que $ ABC$ es equilátero .
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Prueba de Selección de Equipos de Irán 2009 Problema 2
2 Sea $ a$ un número natural fijo . Demuestre que el conjunto de divisores primos de $ 2^{2^{n}} + a$ para $ n = 1,2,\cdots$ es infinito
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Prueba de Selección de Equipos de Irán 2009 Problema 3
3 Suponga que $ a$ , $ b$ , $ c$ son tres números reales positivos tales que $ a+b+c=3$ . Demuestre que : $ \frac{1}{2+a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{2+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{2+c^{2}+a^{2}} \leq \frac{3}{4}$
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Prueba de Selección de Equipos de Irán 2009 Problema 6
6 Tenemos un camino cerrado sobre los vértices de un cuadrado de $ n$ × $ n$ que pasa por cada vértice exactamente una vez . Demuestre que existen dos vértices adyacentes tales que si cortamos el camino en estos puntos, entonces la longitud de cada una de las partes no es menor que la cuarta parte del camino total .
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Prueba de Selección de Equipos de Irán 2009 Problema 7
7 Suponga tres direcciones en el plano . Dibujamos $ 11$ rectas en cada dirección . Halle el máximo número de puntos del plano que están sobre tres rectas .
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Prueba de Selección de Equipos de Irán 2009 Problema 8
8 Halle todos los polinomios $ P(x,y)$ tales que para todos los reales $ x$ y $y$ , \[P(x^{2},y^{2}) =P\left(\frac {(x + y)^{2}}{2},\frac {(x - y)^{2}}{2}\right).\]
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Prueba de Selección de Equipos de Irán 2009 Problema 9
9 En el triángulo $ABC$ , $D$ , $E$ y $F$ son los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con centro $I$ con $BC$ , $CA$ y $AB$ respectivamente. Sea $M$ el pie de la perpendicular trazada desde $D$ a $EF$ . $P$ está en $DM$ tal que $DP = MP$ . Si $H$ es el ortocentro de $BIC$ , demuestre que $PH$ biseca a $ EF$ .
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