5 Determine todas las funciones $ f$ del conjunto de los enteros positivos en el conjunto de los enteros positivos tales que, para todos los enteros positivos $ a$ y $ b$ , existe un triángulo no degenerado con lados de longitudes \[ a, f(b) \text{ and } f(b + f(a) - 1).\] (Un triángulo es no degenerado si sus vértices no son colineales.) Propuesto por Bruno Le Floch, Francia

1998.4 $ABCD$ es un cuadrado de centro $O$. Sobre los lados $DC$ y $AD$ se han construido los triángulos equiláteros $DAF$ y $DCE$. Decide si el área del triángulo $EDF$ es mayor, menor o igual que el área del triángulo $DOC$. https://4.bp.blogspot.com/-o0lhdRfRxl0/XNYtJgpJMmI/AAAAAAAAKKg/lmj7KofAJosBZBJcLNH0JKjW3o17CEMkACK4BGAYYCw/s1600/may4_2.gif

1 Dado que $ a_1=1$ , $ a_2=5$ , $ \displaystyle a_{n+1} = \frac{a_n \cdot a_{n-1}}{\sqrt{a_n^2 + a_{n-1}^2 + 1}}$ . Halle una expresión del término general de $ \{ a_n \}$ .

6 Sean $ a_1, a_2, \ldots , a_n$ enteros positivos distintos y sea $ M$ un conjunto de $ n - 1$ enteros positivos que no contiene a $ s = a_1 + a_2 + \ldots + a_n.$ Un saltamontes debe saltar a lo largo del eje real, comenzando en el punto $ 0$ y dando $ n$ saltos hacia la derecha con longitudes $ a_1, a_2, \ldots , a_n$ en algún orden. Demuestre que el orden puede elegirse de manera que el saltamontes nunca caiga en ningún punto de $ M.$ Propuesto por Dmitry Khramtsov, Rusia

1 Defina una sucesión $\langle f(n)\rangle^{\infty}_{n=1}$ de enteros positivos mediante $f(1) = 1$ y \[f(n) = \begin{cases} f(n-1) - n & \text{ if } f(n-1) > n;\\ f(n-1) + n & \text{ if } f(n-1) \leq n, \end{cases}\] para $n \geq 2.$ Sea $S = \{n \in \mathbb{N} \;\mid\; f(n) = 1993\}.$ (i) Demuestre que $S$ es un conjunto infinito. (ii) Halle el menor entero positivo en $S.$ (iii) Si todos los elementos de $S$ se escriben en orden ascendente como \[ n_1 < n_2 < n_3 < \ldots , \] demuestre que \[ \lim_{i\rightarrow\infty} \frac{n_{i+1}}{n_i} = 3. \]

2 Demuestre que existe un conjunto finito $A \subset \mathbb{R}^2$ tal que para todo $X \in A$ hay puntos $Y_1, Y_2, \ldots, Y_{1993}$ en $A$ tales que la distancia entre $X$ e $Y_i$ es igual a 1, para todo $i.$

3 Demuestre que \[ \frac{a}{b+2c+3d} +\frac{b}{c+2d+3a} +\frac{c}{d+2a+3b}+ \frac{d}{a+2b+3c} \geq \frac{2}{3} \] para todos los números reales positivos $a,b,c,d$ . Fermat -Euler

4 Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones, en el que $a$ es un número dado que satisface $|a| > 1$ : $\begin{matrix} x_{1}^2 = ax_2 + 1 \\ x_{2}^2 = ax_3 + 1 \\ \ldots \\ x_{999}^2 = ax_{1000} + 1 \\ x_{1000}^2 = ax_1 + 1 \\ \end{matrix}$ Fermat -Euler

5 $a > 0$ y $b$ , $c$ son enteros tales que $ac$ – $b^2$ es un entero positivo libre de cuadrados P. Por ejemplo, P podría ser $3*5$ , pero no $3^2*5$ . Sea $f(n)$ el número de pares de enteros $d, e$ tales que $ad^2 + 2bde + ce^2= n$ . Demuestre que $f(n)$ es finito y que $f(n) = f(P^{k}n)$ para todo entero positivo $k$ . Enunciado original: Sean $a,b,c$ enteros dados con $a > 0,$ $ac-b^2 = P = P_1 \cdots P_n$ donde $P_1 \cdots P_n$ son números primos (distintos). Sea $M(n)$ el número de pares de enteros $(x,y)$ para los cuales \[ ax^2 + 2bxy + cy^2 = n. \] Demuestre que $M(n)$ es finito y que $M(n) = M(P_k \cdot n)$ para todo entero $k \geq 0.$ Note que la " $n$ " en $P_N$ y la " $n$ " en $M(n)$ no tienen por qué ser la misma. Fermat -Euler

11.6 Las funciones $f(x)$ y $g(x)$ están definidas sobre el conjunto de los números reales y toman valores reales. Se sabe que $g(x)$ toma todos los valores reales, $g(0)=0$, y para todos los $x,y \in \mathbb{R}$ se cumple la siguiente igualdad $$f(x+f(y))=f(x)+g(y)$$ Demuestre que $g(x+y)=g(x)+g(y)$ para todos los $x,y \in \mathbb{R}$.