¿Existe una cantidad infinita de conjuntos $C$ formados por $1983$ números naturales consecutivos tales que cada uno de los números sea divisible por algún número de la forma $a^{1983}$, con $a \in \mathbb N, a \neq 1?$

23 Sean $p$ y $q$ enteros. Demuestra que existe un intervalo $I$ de longitud $1/q$ y un polinomio $P$ con coeficientes enteros tal que \[ \left|P(x)-\frac pq \right| < \frac{1}{q^2}\] para todo $x \in I.$ Amir

6 Sean $a,b,c,d$ números reales positivos. ¿Cuál es el valor mínimo de $$ \frac{(a^2+b^2+2c^2+3d^2)(2a^2+3b^2+6c^2+6d^2)}{(a+b)^2(c+d)^2}$$

24. Todo \(x\), \(0 \leq x \leq 1\), admite una representación única \(x = \sum_{j=0}^{\infty} a_j 2^{-j}\), donde todos los \(a_j\) pertenecen a \(\{0, 1\}\) e infinitamente muchos de ellos son \(0\). Si \(b(0) = \frac{1+c}{2+c}, b(1) =\frac{1}{2+c}, c > 0\), y \[f(x)=a_0 + \sum_{j=0}^{\infty}b(a_0) \cdots b(a_j) a_{j+1}\] demuestra que \(0 < f(x) - x < c\) para todo \(x\), \(0 < x < 1\). Amir

26 Sean $a, b, c$ enteros positivos que satisfacen $\gcd (a, b) = \gcd (b, c) = \gcd (c, a) = 1$. Demuestra que $2abc-ab-bc-ca$ no puede representarse como $bcx+cay +abz$ con enteros no negativos $x, y, z.$

27 Sean $a,b$ y $c$ enteros positivos, tales que no hay dos de ellos que tengan un divisor común mayor que $1$. Demuestra que $2abc-ab-bc-ca$ es el entero más grande que no puede expresarse en la forma $xbc+yca+zab$, donde $x,y,z$ son enteros no negativos.

28 Demuestra que si los lados $a, b, c$ de un triángulo satisfacen la ecuación \[2(ab^2 + bc^2 + ca^2) = a^2b + b^2c + c^2a + 3abc,\] entonces el triángulo es equilátero. Demuestra también que la ecuación puede ser satisfecha por números reales positivos que no son los lados de un triángulo. Amir

29 Sea $O$ un punto exterior a una circunferencia dada. Dos rectas $OAB, OCD$ que pasan por $O$ cortan a la circunferencia en $A,B,C,D$, donde $A,C$ son los puntos medios de $OB,OD$, respectivamente. Además, el ángulo agudo $\theta$ entre las rectas es igual al ángulo agudo con el que cada recta corta a la circunferencia. Encuentra $\cos \theta$ y demuestra que las tangentes en $A,D$ a la circunferencia se cortan sobre la recta $BC.$

30 Demuestra la existencia de una única sucesión $\{u_n\} \ (n = 0, 1, 2 \ldots )$ de enteros positivos tal que \[u_n^2 = \sum_{r=0}^n \binom{n+r}{r} u_{n-r} \qquad \text{para todo } n \geq 0\] Amir

31 Encuentra todas las funciones \( f \) definidas sobre el conjunto de los reales positivos que toman valores reales positivos y satisfacen: \( f(xf(y))=yf(x) \) para todo \( x,y \) ; y \( f(x)\to 0 \) cuando \( x\to\infty \).