1 Defina una sucesión $\langle f(n)\rangle^{\infty}_{n=1}$ de enteros positivos mediante $f(1) = 1$ y \[f(n) = \begin{cases} f(n-1) - n & \text{ if } f(n-1) > n;\\ f(n-1) + n & \text{ if } f(n-1) \leq n, \end{cases}\] para $n \geq 2.$ Sea $S = \{n \in \mathbb{N} \;\mid\; f(n) = 1993\}.$ (i) Demuestre que $S$ es un conjunto infinito. (ii) Halle el menor entero positivo en $S.$ (iii) Si todos los elementos de $S$ se escriben en orden ascendente como \[ n_1 < n_2 < n_3 < \ldots , \] demuestre que \[ \lim_{i\rightarrow\infty} \frac{n_{i+1}}{n_i} = 3. \]