1 Hay $10001$ estudiantes en una universidad. Algunos estudiantes se unen para formar varios clubes (un estudiante puede pertenecer a diferentes clubes). Algunos clubes se unen para formar varias sociedades (un club puede pertenecer a diferentes sociedades). Hay un total de $k$ sociedades. Supón que se cumplen las siguientes condiciones: i.) Cada par de estudiantes está exactamente en un club. ii.) Para cada estudiante y cada sociedad, el estudiante está exactamente en un club de la sociedad. iii.) Cada club tiene un número impar de estudiantes. Además, un club con ${2m+1}$ estudiantes (donde $m$ es un entero positivo) está exactamente en $m$ sociedades. Encuentra todos los valores posibles de $k$ . Propuesto por Guihua Gong, Puerto Rico

13 Una sucesión $(u_{n})$ se define mediante \[ u_{0}=2 \quad u_{1}=\frac{5}{2}, u_{n+1}=u_{n}(u_{n-1}^{2}-2)-u_{1} \quad \textnormal{for } n=1,\ldots \] Demuestre que para cualquier entero positivo $n$ se tiene \[ [u_{n}]=2^{\frac{(2^{n}-(-1)^{n})}{3}} \] (donde $[x]$ denota el menor entero $\leq x)$

3 Sea el triángulo $ABC$ tal que su circunradio es $R = 1.$ Sea $r$ el inradio de $ABC$ y sea $p$ el inradio del triángulo órtico $A'B'C'$ del triángulo $ABC.$ Demuestre que \[ p \leq 1 - \frac{1}{3} \cdot (1+r)^2. \]

4 Dado un triángulo $ABC$ , sean $D$ y $E$ puntos del lado $BC$ tales que $\angle BAD = \angle CAE$ . Si $M$ y $N$ son, respectivamente, los puntos de tangencia de las circunferencias inscritas de los triángulos $ABD$ y $ACE$ con la recta $BC$ , demuestre que \[\frac{1}{MB}+\frac{1}{MD}= \frac{1}{NC}+\frac{1}{NE}. \]

6 Para tres puntos $A,B,C$ del plano, definimos $m(ABC)$ como la menor longitud de las tres alturas del triángulo $ABC$ , donde en el caso de que $A$ , $B$ , $C$ sean colineales, fijamos $m(ABC) = 0$ . Sean $A$ , $B$ , $C$ puntos dados del plano. Demuestre que para cualquier punto $X$ del plano, \[ m(ABC) \leq m(ABX) + m(AXC) + m(XBC). \]

7 Sean $A$ , $B$ , $C$ , $D$ cuatro puntos del plano, con $C$ y $D$ en el mismo lado de la recta $AB$ , tales que $AC \cdot BD = AD \cdot BC$ y $\angle ADB = 90^{\circ}+\angle ACB$ . Halle la razón \[\frac{AB \cdot CD}{AC \cdot BD}, \] y demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ACD$ y $BCD$ son ortogonales. (Se dice que dos circunferencias que se cortan son ortogonales si en cualquiera de sus puntos comunes sus tangentes son perpendiculares. Así, demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ACD$ y $BCD$ son ortogonales equivale a demostrar que las tangentes a las circunferencias circunscritas de los triángulos $ACD$ y $BCD$ en el punto $C$ son perpendiculares.)

8 Los vértices $D,E,F$ de un triángulo equilátero están sobre los lados $BC,CA,AB$ respectivamente de un triángulo $ABC.$ Si $a,b,c$ son las longitudes respectivas de estos lados, y $S$ el área de $ABC,$ demuestre que \[ DE \geq \frac{2 \cdot \sqrt{2} \cdot S}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + 4 \cdot \sqrt{3} \cdot S}}. \]

2 Se dice que un número natural $n$ tiene la propiedad $P,$ si, para todo $a, n^2$ divide a $a^n - 1$ siempre que $n$ divida a $a^n - 1.$ a.) Demuestre que todo número primo $n$ tiene la propiedad $P.$ b.) Demuestre que hay infinitos números compuestos $n$ que poseen la propiedad $P.$

3 Sean $a,b,n$ enteros positivos, $b > 1$ y $b^n-1\mid a.$ Demuestre que la representación del número $a$ en la base $b$ contiene al menos $n$ dígitos distintos de cero.

B6 Sean $a$ y $b$ números positivos. Encuentra el mayor número $c$, en términos de $a$ y $b$, tal que para todo $x$ con $0<|x|\le c$ y para todo $\alpha$ con $0<\alpha<1$, se cumpla: $$a^\alpha b^{1-\alpha}\le\frac{a\sinh\alpha x}{\sinh x}+\frac{b\sinh x(1-\alpha)}{\sinh x}.$$