Sea $f : \mathbb R \to \mathbb R$ una función tal que $f(1)=1$ y\n\[f(x+y)=f(x)+f(y)\]\nY para todo $x \in \mathbb R / \{0\}$ tenemos $f\left( \frac 1x \right) = \frac{1}{f(x)}.$\nEncontrar todas las funciones $f$ que cumplen esto.

Sea $ABCD$ un tetrágono.\n(a) Si el plano $(P)$ corta a $ABCD,$ encontrar la condición necesaria y suficiente para que el área formada por la intersección del plano $(P)$ y el tetrágono sea un paralelogramo. Demostrar que el problema tiene tres soluciones en este caso.\n(b) Considerar una de las soluciones de (a). Encontrar la situación del plano $(P)$ para el cual el paralelogramo tiene área máxima.\n(c) Encontrar un plano $(P)$ para el cual el paralelogramo sea un rombo y luego encontrar la longitud del lado de su rombo en términos de la longitud de los lados de $ABCD$.

Demostrar que la ecuación $x+x^2=y+y^2+y^3$ no tiene soluciones en enteros positivos.

Sea $A_1A_2A_3A_4A_5$ un 5-gono convexo en el que las coordenadas de todos sus vértices son racionales. Para cada $1\leq i \leq 5$ defina $B_i$ la intersección de las líneas $A_{i+1}A_{i+2}$ y $A_{i+3}A_{i+4}$ . ( $A_i=A_{i+5}$ ) Demuestre que como máximo 3 líneas de las líneas $A_iB_i$ ( $1\leq i \leq 5$ ) son concurrentes.

Una ecuación $P(x)=Q(y)$ se llama Interesante si $P$ y $Q$ son polinomios con grado al menos uno y coeficientes enteros y las ecuaciones tienen un número infinito de respuestas en $\mathbb{N}$ . Una ecuación interesante $P(x)=Q(y)$ produce una ecuación interesante $F(x)=G(y)$ si existe un polinomio $R(x) \in \mathbb{Q} [x]$ tal que $F(x) \equiv R(P(x))$ y $G(x) \equiv R(Q(x))$ . (a) Suponga que $S$ es un subconjunto infinito de $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ . $S$ es una respuesta de la ecuación interesante $P(x)=Q(y)$ si cada elemento de $S$ es una respuesta de esta ecuación. Demuestre que para cada $S$ existe una ecuación interesante $P_0(x)=Q_0(y)$ tal que si existe alguna ecuación interesante que $S$ sea una respuesta de ella, $P_0(x)=Q_0(y)$ produce esa ecuación. (b) Defina el grado de una ecuación interesante $P(x)=Q(y)$ por $max\{deg(P),deg(Q)\}$ . Una ecuación interesante se llama primaria si no hay otra ecuación interesante con un grado inferior que produzca en ella. Demuestre que si $P(x)=Q(y)$ es una ecuación interesante primaria y $P$ y $Q$ son mónicos entonces $(deg(P),deg(Q))=1$ .

El planeta Tarator es un planeta en la galaxia Yoghurty way. Este planeta tiene la forma de un $1392$ - hedron convexo. En la Tierra no tenemos ninguna otra información sobre los lados del planeta Tarator. Hemos descubierto que cada lado del planeta es un país, y tiene su propia moneda. Cada dos países vecinos tienen su propia tasa de cambio constante, independientemente de otras tasas de cambio. Cualquiera que viaje por tierra y cruce la frontera debe cambiar todo su dinero a la moneda del país de destino, y no hay otra forma de cambiar el dinero. Increíblemente, el dinero de una persona puede cambiar después de cruzar algunas fronteras y regresar al punto donde comenzó, pero está garantizado que cruzar una frontera y luego regresar no cambia el dinero. En un proyecto de investigación, se eligió a un grupo de turistas y se les dio la misma cantidad de dinero para viajar por el planeta Tarator y regresar al punto donde comenzaron. Siempre viajan por tierra y su camino es un polígono no plano que no se interseca a sí mismo. ¿Cuál es el número máximo de turistas que pueden tener una cantidad final de dinero diferente por parejas? Nota 1: ¡Los turistas no gastan dinero durante el viaje! Nota 2: La única constante del problema es 1392, el número de lados. Las tasas de cambio y la forma en que se organizan los lados son desconocidas. La respuesta debe ser un número constante, independientemente de las variables. Nota 3: El máximo debe estar entre todos los posibles poliedros.

Una subsuma de $n$ números reales $a_1,\dots,a_n$ es una suma de elementos de un subconjunto del conjunto $\{a_1,\dots,a_n\}$ . En otras palabras, una subsuma es $\epsilon_1a_1+\dots+\epsilon_na_n$ en la que para cada $1\leq i \leq n$ , $\epsilon_i$ es $0$ o $1$ . Hace años, había una valiosa lista que contenía $n$ números reales no necesariamente distintos y sus $2^n-1$ subsums. Algunas criaturas misteriosas del planeta Tarator han robado la lista, pero todavía tenemos las subsums. (a) Demuestre que podemos recuperar los números de forma única si todas las subsums son positivas. (b) Demuestre que podemos recuperar los números de forma única si todas las subsums son distintas de cero. (c) Demuestre que hay un ejemplo de las subsums para $n=1392$ tal que no podemos recuperar los números de forma única. Nota: Si una subsuma es la suma de elementos de dos subconjuntos diferentes, aparece dos veces.

Un polígono $A$ que no se interseca a sí mismo y tiene un perímetro $p$ se llama Rotundo si para cada dos puntos $x,y$ en los lados de este polígono cuya distancia en el plano es menor que $1$ su distancia en el polígono es como máximo $\frac{p}{4}$ . (La distancia en el polígono es la longitud del camino más pequeño entre dos puntos en el polígono) Ahora debemos demostrar que podemos encajar un círculo con radio $\frac{1}{4}$ en cualquier polígono rotundo. Los matemáticos de dos planetas, la Tierra y Tarator, tienen dos enfoques diferentes para demostrar la declaración. En ambos enfoques por 'cuerda interna' nos referimos a un segmento con ambos puntos finales en el polígono, y 'diagonal' es una cuerda interna con vértices del polígono como los puntos finales. Enfoque de la Tierra: Cuerda Máxima Conocemos el hecho de que para cada polígono, existe una cuerda interna $xy$ con una longitud de como máximo 1 tal que para cualquier cuerda interna $x'y'$ con una longitud de como máximo 1 la distancia en el polígono de $x,y$ es mayor que la distancia en el polígono de $x',y'$ . Esta cuerda se llama la cuerda máxima . En el polígono rotundo $A_0$ hay dos situaciones diferentes para la cuerda máxima: (a) Demuestre que si la longitud de la cuerda máxima es exactamente $1$ , entonces un semicírculo con cuerda máxima de diámetro encaja completamente dentro de $A_0$ , por lo que podemos encajar un círculo con radio $\frac{1}{4}$ en $A_0$ . (b) Demuestre que si la longitud de la cuerda máxima es menor que uno, todavía podemos encajar un círculo con radio $\frac{1}{4}$ en $A_0$ . Enfoque de Tarator: Triangulación Declaración 1: Para cualquier polígono cuya longitud de todos los lados es menor que uno y ningún círculo con radio $\frac{1}{4}$ encaja completamente dentro de él, existe una triangulación del mismo usando diagonales de tal manera que ninguna diagonal con una longitud mayor que $1$ aparece en la triangulación. Declaración 2: Para cualquier polígono que ningún círculo con radio $\frac{1}{4}$ encaje completamente dentro de él, se puede dividir en triángulos cuyos lados son cuerdas internas con una longitud de como máximo 1. Los matemáticos del planeta Tarator demostraron que si la segunda declaración es verdadera, para cada polígono rotundo existe un círculo con radio $\frac{1}{4}$ que encaja completamente dentro de él. (c) Demuestre que si la segunda declaración es verdadera, entonces para cada polígono rotundo existe un círculo con radio $\frac{1}{4}$ que encaja completamente dentro de él. Descubrieron que si la primera declaración es verdadera, entonces la segunda declaración también es verdadera, por lo que pusieron una recompensa de un doogh por demostrar la primera declaración. Un joven matemático de la Tierra llamado J.N., encontró un contraejemplo para la declaración 1, recibiendo así la recompensa. (d) Encuentre un 1392-gono que sea un contraejemplo para la declaración 1. Pero los Tarators no están decepcionados y todavía están tratando de demostrar la segunda declaración. (e) (Puntos extra) Demuestre o refute la segunda declaración.

La función real $f$ genera la función real $g$ si existe un $k$ natural tal que $f^k=g$ y mostramos esto por $f \rightarrow g$ . En esta pregunta estamos tratando de encontrar algunas propiedades para la relación $\rightarrow$ , por ejemplo es trivial que si $f \rightarrow g$ y $g \rightarrow h$ entonces $f \rightarrow h$ . (transitividad) (a) Dé un ejemplo de dos funciones reales $f,g$ tales que $f\not = g$ , $f\rightarrow g$ y $g\rightarrow f$ . (b) Demuestre que para cada función real $f$ existe un número finito de funciones reales $g$ tales que $f \rightarrow g$ y $g \rightarrow f$ . (c) ¿Existe una función real $g$ tal que ninguna función la genere, excepto por $g$ misma? (d) ¿Existe una función real que genere tanto $x^3$ como $x^5$ ? (e) Demuestre que si una función genera dos polinomios de grado 1 $P,Q$ entonces existe un polinomio $R$ de grado 1 que genera $P$ y $Q$ .

Definimos la distancia entre dos círculos $\omega ,\omega '$ como la longitud de la tangente externa común de los círculos y la mostramos por $d(\omega , \omega ')$ . Si dos círculos no tienen una tangente externa común, entonces la distancia entre ellos no está definida. Un punto también es un círculo con radio $0$ y la distancia entre dos círculos puede ser cero. (a) Centroide. $n$ círculos $\omega_1,\dots, \omega_n$ están fijos en el plano. Demuestre que existe un círculo único $\overline \omega$ tal que para cada círculo $\omega$ en el plano el cuadrado de la distancia entre $\omega$ y $\overline \omega$ menos la suma de los cuadrados de las distancias de $\omega$ de cada uno de los $\omega_i$ s $1\leq i \leq n$ es constante, en otras palabras: $d(\omega,\overline \omega)^2-\frac{1}{n}{\sum_{i=1}}^n d(\omega_i,\omega)^2= constant$ (b) Bisectriz Perpendicular. Suponga que el círculo $\omega$ tiene la misma distancia de $\omega_1,\omega_2$ . Considere $\omega_3$ un círculo tangente a ambas tangentes externas comunes de $\omega_1,\omega_2$ . Demuestre que la distancia de $\omega$ del centroide de $\omega_1 , \omega_2$ no es más que la distancia de $\omega$ y $\omega_3$ . (Si las distancias están todas definidas) (c) Circuncentro. Sea $C$ el conjunto de todos los círculos que cada uno de ellos tiene la misma distancia de los círculos fijos $\omega_1,\omega_2,\omega_3$ . Demuestre que existe un punto en el plano que es el centro de homotecia externa de cada dos elementos de $C$ . (d) Tetraedro Regular. ¿Existen 4 círculos en el plano en los que la distancia entre cada dos de ellos es igual a $1$ ?