Semifinal Estatal OMM 2010 Problema 6
En un triángulo equilátero $ABC$ de lado 2 se prolonga el lado $AB$ hasta un punto $D$ de manera que $B$ sea punto medio de $AD$. Sea $E$ un punto sobre $AC$ de manera que $ abla ADE = 15^ ext{o}$ y se toma un punto $F$ sobre $AB$ de manera que $ |EF| = |EC| $. Determina el área del triángulo $AFE$.
Semifinal Estatal OMM 2010 Problema 5
En una fila hay 6 fichas. Cada ficha tiene una cara negra, $N$, y la otra blanca, $B$. Al principio se encuentran en la posición $NBNBNB$. Lulú puede hacer lo siguiente tantas veces como quiera: Escoge dos fichas y las voltea (por ejemplo, si se escoge la primera y la cuarta, las fichas quedan en la posición $BBNNNB$; si luego escoge la primera y la sexta, entonces la nueva posición es $NBNNNN$). Haciendo esto, ¿cuántas posiciones distintas puede lograr?
Semifinal Estatal OMM 2010 Problema 4
En la figura las rectas son tangentes a las circunferencias en los puntos indicados. Calcula $|CD|$ si se sabe que $|AB| = 10$. (¿Es importante el tamaño de los círculos?) [image]
Semifinal Estatal OMM 2009 Problema 3
¿Cuántos números de 19 cifras se pueden formar utilizando los dígitos 1, 2 y 3 si la diferencia entre dos cifras consecutivas debe ser siempre exactamente de 1?
Semifinal Estatal OMM 2009 Problema 1
¿Cuál es el mínimo $n$ con el cual 100 tarjetas numeradas del 1 al 100 se pueden separar en $n$ montones (no necesariamente del mismo tamaño) de manera que cada montón tenga al menos dos tarjetas y en un mismo montón no haya dos tarjetas con suma múltiplo de 3?
Semifinal Estatal OMM 2009 Problema 2
En la figura de abajo a la izquierda, $ABC$ es un triángulo equilátero de lado 2. El círculo inscrito en ese triángulo tiene centro $O$; $D, E, y F$ son los puntos de intersección del círculo con las rectas $AO, BO, y CO$, respectivamente; $L, M, y N$ son puntos medios de los lados de $ABC$; $LHGC$ es cuadrado; $P, Q, R, y S$ son puntos medios de los lados de $LHGC$; $RZ$ es perpendicular a $HG$, y $HZ$ es paralela a $QR$. Usando las líneas de la figura es posible “caminar” de $A$ a $Z$ de varias maneras. Determinar (con demostración) cuál es el camino más corto y calcular su longitud.
Semifinal Estatal OMM 2009 Problema 4
¿Para cuántos números $a$ del 2 al 25 se tiene que $a^3 - a$ es un múltiplo de 84?
Semifinal Estatal OMM 2009 Problema 5
En un triángulo $ABC$ el ángulo en $B$ mide 20° y el ángulo en $C$ mide 40°. El punto $E$ se encuentra sobre el lado $BC$ y es tal que $ riangle ABE = riangle AEC$. Probar que $|BC| = |AB| + |AE|$.
Semifinal Estatal OMM 2009 Problema 6
¿De cuántas maneras se pueden dibujar flechas entre parejas de puntos en la figura de la derecha si las tres condiciones siguientes deben satisfacerse: Ninguna flecha empieza y termina en el mismo renglón o en la misma columna En cada renglón y en cada columna hay exactamente una flecha que empieza ahí En cada renglón y en cada columna hay exactamente una flecha que termina ahí.
Semifinal Estatal OMM 2008 Problema 3
En la figura se muestra un hexágono regular $ABCDEF$ de lado 1. Los arcos de círculo que están dibujados tienen centro en cada vértice del hexágono y radio igual a la distancia al vértice opuesto. $P, Q, R, S, T$ y $U$ son los puntos donde se cortan estos arcos. ¿Cuánto mide cada lado del hexágono $PQRSTU$? [image]