$O$ es un punto en el plano. Sea $O'$ un punto arbitrario en el eje $Ox$ del plano y sea $M$ un punto arbitrario. Gira $M$ , $90^\circ$ en el sentido de las agujas del reloj alrededor de $O$ para obtener el punto $M'$ y gira $M$ , $90^\circ$ en el sentido contrario a las agujas del reloj alrededor de $O'$ para obtener el punto $M''.$ Demuestra que el punto medio del segmento $MM''$ es un punto fijo.

Sea $n >3$ un entero positivo impar y $n=\prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}$ donde $p_i$ son primos y $\alpha_i$ son enteros positivos. Sabemos que \[m=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_3}) \cdots (1-\frac{1}{p_n}).\] Pruebe que existe un primo $P$ tal que $P|2^m -1$ pero $P \nmid n.$

La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ se encuentra con los lados $AB, AC$ y $BC$ en $M,N$ y $P$ , respectivamente. Pruebe que el ortocentro del triángulo $MNP,$ el incentro y el circuncentro del triángulo $ABC$ son colineales. [asy]\nimport graph; size(300); real lsf = 0.5; pen dp = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dp); pen ds = black; pen ttttff = rgb(0.2,0.2,1); pen ffwwww = rgb(1,0.4,0.4); pen xdxdff = rgb(0.49,0.49,1);\ndraw((8,17.58)--(2.84,9.26)--(20.44,9.21)--cycle); draw((8,17.58)--(2.84,9.26),ttttff+linewidth(2pt)); draw((2.84,9.26)--(20.44,9.21),ttttff+linewidth(2pt)); draw((20.44,9.21)--(8,17.58),ttttff+linewidth(2pt)); draw(circle((9.04,12.66),3.43),blue+linewidth(1.2pt)+linetype('8pt 8pt')); draw((6.04,14.42)--(8.94,9.24),ffwwww+linewidth(1.2pt)); draw((8.94,9.24)--(11.12,15.48),ffwwww+linewidth(1.2pt)); draw((11.12,15.48)--(6.04,14.42),ffwwww+linewidth(1.2pt)); draw((8.94,9.24)--(7.81,14.79)); draw((11.12,15.48)--(6.95,12.79)); draw((6.04,14.42)--(10.12,12.6));\ndot((8,17.58),ds); label('$A$', (8.11,18.05),NE*lsf); dot((2.84,9.26),ds); label('$B$', (2.11,8.85), NE*lsf); dot((20.44,9.21),ds); label('$C$', (20.56,8.52), NE*lsf); dot((9.04,12.66),ds); label('$O$', (8.94,12.13), NE*lsf); dot((6.04,14.42),ds); label('$M$', (5.32,14.52), NE*lsf); dot((11.12,15.48),ds); label('$N$', (11.4,15.9), NE*lsf); dot((8.94,9.24),ds); label('$P$', (8.91,8.58), NE*lsf); dot((7.81,14.79),ds); label('$D$', (7.81,15.14),NE*lsf); dot((6.95,12.79),ds); label('$F$', (6.64,12.07),NE*lsf); dot((10.12,12.6),ds); label('$G$', (10.41,12.35),NE*lsf); dot((8.07,13.52),ds); label('$H$', (8.11,13.88),NE*lsf); clip((-0.68,-0.96)--(-0.68,25.47)--(30.71,25.47)--(30.71,-0.96)--cycle);\n[/asy]

Sea $\overline{a_1a_2a_3\ldots a_n}$ la representación de un número de $n$ dígitos en base $10.$ Pruebe que existe una función biyectiva como $f : \{0, 1, 2, 3, \ldots, 9\} \to \{0, 1, 2, 3, \ldots, 9\}$ tal que $f(a_1) \neq 0$ y el número $\overline{ f(a_1)f(a_2)f(a_3) \ldots f(a_n) }$ es divisible por $3.$

Encuentra todas las funciones $ f: \mathbb{Z}\setminus\{0\}\to \mathbb{Q}$ tales que para todo $ x,y \in \mathbb{Z}\setminus\{0\}$ : \n\[ f \left( \frac{x+y}{3}\right) =\frac{f(x)+f(y)}{2}, \; \; x, y \in \mathbb{Z}\setminus\{0\}\]

En el siguiente diagrama, $O$ es el centro del círculo. Si tres ángulos $\alpha, \beta$ y $\gamma$ son iguales, encuentra $\alpha.$ [asy]\nunitsize(40);\nimport graph; size(300); real lsf = 0.5; pen dp = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dp); pen ds = black; pen ttttff = rgb(0.2,0.2,1); pen ffttww = rgb(1,0.2,0.4); pen qqwuqq = rgb(0,0.39,0);\ndraw(circle((0,0),2.33),ttttff+linewidth(2.8pt)); draw((-1.95,-1.27)--(0.64,2.24),ffttww+linewidth(2pt)); draw((0.64,2.24)--(1.67,-1.63),ffttww+linewidth(2pt)); draw((-1.95,-1.27)--(1.06,0.67),ffttww+linewidth(2pt)); draw((1.67,-1.63)--(-0.6,0.56),ffttww+linewidth(2pt)); draw((-0.6,0.56)--(1.06,0.67),ffttww+linewidth(2pt)); pair parametricplot0_cus(real t){\nreturn (0.6*cos(t)+0.64,0.6*sin(t)+2.24);\n}\ndraw(graph(parametricplot0_cus,-2.2073069497794027,-1.3111498158746024)--(0.64,2.24)--cycle,qqwuqq); pair parametricplot1_cus(real t){\nreturn (0.6*cos(t)+-0.6,0.6*sin(t)+0.56);\n}\ndraw(graph(parametricplot1_cus,0.06654165390165974,0.9342857038103908)--(-0.6,0.56)--cycle,qqwuqq); pair parametricplot2_cus(real t){\nreturn (0.6*cos(t)+-0.6,0.6*sin(t)+0.56);\n}\ndraw(graph(parametricplot2_cus,-0.766242589858673,0.06654165390165967)--(-0.6,0.56)--cycle,qqwuqq);\ndot((0,0),ds); label('$O$', (-0.2,-0.38), NE*lsf); dot((0.64,2.24),ds); label('$A$', (0.72,2.36), NE*lsf); dot((-1.95,-1.27),ds); label('$B$', (-2.2,-1.58), NE*lsf); dot((1.67,-1.63),ds); label('$C$', (1.78,-1.96), NE*lsf); dot((1.06,0.67),ds); label('$E$', (1.14,0.78), NE*lsf); dot((-0.6,0.56),ds); label('$D$', (-0.92,0.7), NE*lsf); label('$\alpha$', (0.48,1.38),NE*lsf); label('$\beta$', (-0.02,0.94),NE*lsf); label('$\gamma$', (0.04,0.22),NE*lsf); clip((-8.84,-9.24)--(-8.84,8)--(11.64,8)--(11.64,-9.24)--cycle);\n[/asy]

Los lados de un triángulo equilátero $ABC$ se dividen en $n$ partes iguales $(n \geq 2)$. Para cada punto en un lado, dibujamos las líneas paralelas a los otros lados del triángulo $ABC$, por ejemplo, para $n=3$ tenemos el siguiente diagrama: \n[asy]\nunitsize(150);\ndefaultpen(linewidth(0.7));\nint n = 3; /* # of vertical lines, including AB */\npair A = (0,0), B = dir(-30), C = dir(30);\ndraw(A--B--C--cycle,linewidth(2)); dot(A,UnFill(0)); dot(B,UnFill(0)); dot(C,UnFill(0));\nlabel('$A$',A,W); label('$C$',C,NE); label('$B$',B,SE);\nfor(int i = 1; i < n; ++i) {\ndraw((i*A+(n-i)*B)/n--(i*A+(n-i)*C)/n);\ndraw((i*B+(n-i)*A)/n--(i*B+(n-i)*C)/n);\ndraw((i*C+(n-i)*A)/n--(i*C+(n-i)*B)/n);\n}\n[/asy] Para cada $n \geq 2$, encuentre el número de paralelogramos existentes.

Tres grupos $A, B$ y $C$ de matemáticos de diferentes países han sido invitados a una ceremonia. Hemos formado reuniones tales que tres matemáticos participan en cada reunión y hay exactamente un matemático de cada grupo en cada reunión. Además, cada dos matemáticos han participado en exactamente una reunión entre ellos.\n(a) Demostrar que si esto es posible, entonces el número de matemáticos de los grupos es igual.\n(b) Demostrar que si existen $3$ matemáticos en cada grupo, entonces ese trabajo es posible.\n(c) Demostrar que si el número de matemáticos de los grupos es igual, entonces ese trabajo es posible.

El triángulo $ABC$ está inscrito en el círculo $C.$ Las bisectrices de los ángulos $A,B$ y $C$ se encuentran con el círculo $C$ nuevamente en los puntos $A', B', C'$ . Sea $I$ el incentro de $ABC,$ demostrar que\n\[\frac{IA'}{IA} + \frac{IB'}{IB}+\frac{IC'}{IC} \geq 3\]\n\[, IA'+IB'+IC' \geq IA+IB+IC\]

Demostrar que existen al menos seis puntos con coordenadas racionales en la curva de la ecuación\n\[y^3=x^3+x+1370^{1370}\]