Definimos la distancia entre dos círculos $\omega ,\omega '$ como la longitud de la tangente externa común de los círculos y la mostramos por $d(\omega , \omega ')$ . Si dos círculos no tienen una tangente externa común, entonces la distancia entre ellos no está definida. Un punto también es un círculo con radio $0$ y la distancia entre dos círculos puede ser cero. (a) Centroide. $n$ círculos $\omega_1,\dots, \omega_n$ están fijos en el plano. Demuestre que existe un círculo único $\overline \omega$ tal que para cada círculo $\omega$ en el plano el cuadrado de la distancia entre $\omega$ y $\overline \omega$ menos la suma de los cuadrados de las distancias de $\omega$ de cada uno de los $\omega_i$ s $1\leq i \leq n$ es constante, en otras palabras: $d(\omega,\overline \omega)^2-\frac{1}{n}{\sum_{i=1}}^n d(\omega_i,\omega)^2= constant$ (b) Bisectriz Perpendicular. Suponga que el círculo $\omega$ tiene la misma distancia de $\omega_1,\omega_2$ . Considere $\omega_3$ un círculo tangente a ambas tangentes externas comunes de $\omega_1,\omega_2$ . Demuestre que la distancia de $\omega$ del centroide de $\omega_1 , \omega_2$ no es más que la distancia de $\omega$ y $\omega_3$ . (Si las distancias están todas definidas) (c) Circuncentro. Sea $C$ el conjunto de todos los círculos que cada uno de ellos tiene la misma distancia de los círculos fijos $\omega_1,\omega_2,\omega_3$ . Demuestre que existe un punto en el plano que es el centro de homotecia externa de cada dos elementos de $C$ . (d) Tetraedro Regular. ¿Existen 4 círculos en el plano en los que la distancia entre cada dos de ellos es igual a $1$ ?