Un polígono $A$ que no se interseca a sí mismo y tiene un perímetro $p$ se llama Rotundo si para cada dos puntos $x,y$ en los lados de este polígono cuya distancia en el plano es menor que $1$ su distancia en el polígono es como máximo $\frac{p}{4}$ . (La distancia en el polígono es la longitud del camino más pequeño entre dos puntos en el polígono) Ahora debemos demostrar que podemos encajar un círculo con radio $\frac{1}{4}$ en cualquier polígono rotundo. Los matemáticos de dos planetas, la Tierra y Tarator, tienen dos enfoques diferentes para demostrar la declaración. En ambos enfoques por 'cuerda interna' nos referimos a un segmento con ambos puntos finales en el polígono, y 'diagonal' es una cuerda interna con vértices del polígono como los puntos finales. Enfoque de la Tierra: Cuerda Máxima Conocemos el hecho de que para cada polígono, existe una cuerda interna $xy$ con una longitud de como máximo 1 tal que para cualquier cuerda interna $x'y'$ con una longitud de como máximo 1 la distancia en el polígono de $x,y$ es mayor que la distancia en el polígono de $x',y'$ . Esta cuerda se llama la cuerda máxima . En el polígono rotundo $A_0$ hay dos situaciones diferentes para la cuerda máxima: (a) Demuestre que si la longitud de la cuerda máxima es exactamente $1$ , entonces un semicírculo con cuerda máxima de diámetro encaja completamente dentro de $A_0$ , por lo que podemos encajar un círculo con radio $\frac{1}{4}$ en $A_0$ . (b) Demuestre que si la longitud de la cuerda máxima es menor que uno, todavía podemos encajar un círculo con radio $\frac{1}{4}$ en $A_0$ . Enfoque de Tarator: Triangulación Declaración 1: Para cualquier polígono cuya longitud de todos los lados es menor que uno y ningún círculo con radio $\frac{1}{4}$ encaja completamente dentro de él, existe una triangulación del mismo usando diagonales de tal manera que ninguna diagonal con una longitud mayor que $1$ aparece en la triangulación. Declaración 2: Para cualquier polígono que ningún círculo con radio $\frac{1}{4}$ encaje completamente dentro de él, se puede dividir en triángulos cuyos lados son cuerdas internas con una longitud de como máximo 1. Los matemáticos del planeta Tarator demostraron que si la segunda declaración es verdadera, para cada polígono rotundo existe un círculo con radio $\frac{1}{4}$ que encaja completamente dentro de él. (c) Demuestre que si la segunda declaración es verdadera, entonces para cada polígono rotundo existe un círculo con radio $\frac{1}{4}$ que encaja completamente dentro de él. Descubrieron que si la primera declaración es verdadera, entonces la segunda declaración también es verdadera, por lo que pusieron una recompensa de un doogh por demostrar la primera declaración. Un joven matemático de la Tierra llamado J.N., encontró un contraejemplo para la declaración 1, recibiendo así la recompensa. (d) Encuentre un 1392-gono que sea un contraejemplo para la declaración 1. Pero los Tarators no están decepcionados y todavía están tratando de demostrar la segunda declaración. (e) (Puntos extra) Demuestre o refute la segunda declaración.