Una ecuación $P(x)=Q(y)$ se llama Interesante si $P$ y $Q$ son polinomios con grado al menos uno y coeficientes enteros y las ecuaciones tienen un número infinito de respuestas en $\mathbb{N}$ . Una ecuación interesante $P(x)=Q(y)$ produce una ecuación interesante $F(x)=G(y)$ si existe un polinomio $R(x) \in \mathbb{Q} [x]$ tal que $F(x) \equiv R(P(x))$ y $G(x) \equiv R(Q(x))$ . (a) Suponga que $S$ es un subconjunto infinito de $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ . $S$ es una respuesta de la ecuación interesante $P(x)=Q(y)$ si cada elemento de $S$ es una respuesta de esta ecuación. Demuestre que para cada $S$ existe una ecuación interesante $P_0(x)=Q_0(y)$ tal que si existe alguna ecuación interesante que $S$ sea una respuesta de ella, $P_0(x)=Q_0(y)$ produce esa ecuación. (b) Defina el grado de una ecuación interesante $P(x)=Q(y)$ por $max\{deg(P),deg(Q)\}$ . Una ecuación interesante se llama primaria si no hay otra ecuación interesante con un grado inferior que produzca en ella. Demuestre que si $P(x)=Q(y)$ es una ecuación interesante primaria y $P$ y $Q$ son mónicos entonces $(deg(P),deg(Q))=1$ .