Semifinal Estatal OMM 2007 Problema 4
Encuentra el entero positivo $A$ que satisface $$A^{2} = 4\cdot2006 + 4\cdot2004 + 4\cdot2002 + \cdots + 4\cdot4 + 4\cdot2 + 1.$$
Semifinal Estatal OMM 2006 Problema 4
En la figura se ha dibujado un cuadrado encima de otros tres. ¿Cuál es el área de la región sombreada? [image]
Semifinal Estatal OMM 2006 Problema 6
En el tablero de $3 \times 3$ de la figura se va a jugar un juego. Un movimiento permitido consiste en escoger uno de los cuadritos y cambiar de color (negro a blanco, y blanco a negro) todos los que están pegados a él, ya sea en diagonal o compartiendo un lado (el cuadrito elegido no cambia de color). Determinar si es posible, mediante movimientos permitidos, lograr que todos los cuadros de la figura dada queden del mismo color. [image]
Semifinal Estatal OMM 2006 Problema 1
En una cuadrícula de $12 \times 12$ las líneas de la orilla son continuas y las interiores son punteadas, como se muestra. Luis y Miguel van a jugar un juego sobre el tablero. En su turno Luis escoge alguna línea horizontal punteada y la remarca desde una orilla de la cuadrícula hasta la otra (es decir, hace continua la horizontal completa de longitud 12), después Miguel escoge una línea vertical punteada y la remarca (también toda la línea de longitud 12). Empieza Luis y después van alternando turnos escogiendo siempre líneas todavía punteadas (Luis siempre escoge horizontales y Miguel siempre escoge verticales). Gana el primero que logre formar, con las líneas continuas, un cuadrado de $1 \times 1$. Si los dos jugadores juegan inteligentemente, ¿cuál de ellos puede garantizar que va a ganar, y cómo deberá jugar para asegurar su triunfo? [image]
Semifinal Estatal OMM 2006 Problema 5
En el hexágono regular de la figura, cada lado mide $\sqrt{3}$ y se dibujaron dos cuadrados sobre los lados, como se muestra. (a) Probar que el triángulo $ABC$ es equilátero. (b) Encontrar la medida de los lados de los cuadrados. (c) Probar que el área del triángulo $BCD$ es $\frac{5\sqrt{3}}{4}$. [image]
Semifinal Estatal OMM 2006 Problema 2
¿De cuántas formas es posible numerar del 1 al 6 todas las casillas de la figura de manera que no haya un par de casillas vecinas cuya resta sea múltiplo de 3? (Nota: Dos casillas que comparten sólo una esquina no se consideran vecinas.) [image]
Semifinal Estatal OMM 2006 Problema 3
Encuentra todas las parejas de primos positivos $p$ y $q$ que satisfacen la siguiente ecuación $p^q + q^p = 2^{p+1} + 1$.
Semifinal Estatal OMM 2005 Problema 6
¿Cuántos caminos hay del punto $A$ al punto $B$ siguiendo las líneas de la figura si las direcciones permitidas son $ ightarrow$, $ earrow$, $ warrow$, $ ightarrow$ (es decir, cualquier sentido está permitido salvo $ ightarrow$) y no se permite pasar dos veces por el mismo punto? [image]
Semifinal Estatal OMM 2005 Problema 3
Una pelota rebota en las paredes marcadas con líneas gruesas en la figura y las distancias son todas de un metro como se indica. La pelota sale del punto $A$ hacia un punto a distancia $d$ de la orilla de la primera pared. ¿Cómo debe ser $d$ para que la pelota toque todas las paredes? (Recuerda que los rebotes de una pelota en una pared obedecen la siguiente regla: el ángulo de entrada es igual al de salida como indica el esquema) [image]
Semifinal Estatal OMM 2005 Problema 1
En la lista de 6 números $a, b, c, d, e, f$ cada uno es la suma de los anteriores a él (por ejemplo $d = a + b + c$). Si $f = 7392$, ¿cuánto vale $a$?