Un $n$ - palo es una figura conectada que consta de $n$ cerillas de longitud $1$ que se colocan horizontal o verticalmente y ninguna se toca en puntos que no sean sus extremos. Dos formas que se pueden transformar entre sí moviendo, rotando o volteando se consideran iguales. Un $n$ - mino es una forma que se construye conectando $n$ cuadrados de lado de longitud 1 en sus lados de tal manera que haya un camino en los cuadrados entre cada dos cuadrados del $n$ - mino. Sea $S_n$ el número de $n$ - palos y $M_n$ el número de $n$ - minos, por ejemplo $S_3=5$ Y $M_3=2$ . (a) Demuestre que para cualquier $n$ natural , $S_n \geq M_{n+1}$ . (b) Demuestre que para $n$ suficientemente grande tenemos $(2.4)^n \leq S_n \leq (16)^n$ . Un segmento de cuadrícula es un segmento en el plano de longitud 1 cuyos extremos son puntos enteros. Un polipalo se llama sabio si usándolo y sus rotaciones o volteos podemos cubrir todos los segmentos de cuadrícula sin superposición, de lo contrario se llama insensato . (c) Demuestre que hay al menos $2^{n-6}$ diferentes $n$ - palos insensatos. (d) Demuestre que cualquier polipalo que tenga la forma de un camino que solo vaya hacia arriba y hacia la derecha es sabio. (e) Puntos extra: Demuestre que para $n$ suficientemente grande tenemos $3^n \leq S_n \leq 12^n$

Considere un grafo con $n$ vértices y $\frac{7n}{4}$ aristas. (a) Demuestre que hay dos ciclos de igual longitud. (b) ¿Puede dar una función más pequeña que $\frac{7n}{4}$ que todavía encaje en la parte (a)? Demuestre su afirmación. Decimos que la función $a(n)$ es más pequeña que $b(n)$ si existe un $N$ tal que para cada $n>N$ , $a(n)<b(n)$

Hemos construido un rombo adjuntando dos triángulos equiláteros iguales. Al colocar $n-1$ puntos en los 3 lados de cada triángulo hemos dividido los lados en $n$ segmentos iguales. Al dibujar segmentos de línea entre puntos correspondientes en cada lado de los triángulos hemos dividido el rombo en $2n^2$ triángulos iguales. Escribimos los números $1,2,\dots,2n^2$ en estos triángulos de tal manera que ningún número aparece dos veces. En el segmento común de cada dos triángulos escribimos la diferencia positiva de los números escritos en esos triángulos. Encuentre la suma máxima de todos los números escritos en los segmentos.

$n$ coches están corriendo. Al principio tienen un orden particular. En cada momento un coche puede adelantar a otro coche. No ocurren dos acciones de adelantamiento al mismo tiempo, y excepto los momentos en que un coche está pasando a otro, los coches siempre tienen un orden. Un conjunto de acciones de adelantamiento se llama 'pequeño' si cualquier coche adelanta como máximo una vez. Un conjunto de acciones de adelantamiento se llama 'completo' si cualquier coche adelanta exactamente una vez. Si $F$ es el conjunto de todos los órdenes posibles de los coches después de un pequeño conjunto de acciones de adelantamiento y $G$ es el conjunto de todos los órdenes posibles de los coches después de un conjunto completo de acciones de adelantamiento, demuestre que $\mid F\mid=2\mid G\mid$

¿Cuántas torres se pueden colocar en un tablero de ajedrez de $n\times n$ tal que cada torre esté amenazada por como máximo $2k$ torres?

Asuma que la siguiente ecuación de función generadora es correcta, demuestre la siguiente declaración: $\Pi_{i=1}^{\infty} (1+x^{3i})\Pi_{j=1}^{\infty} (1-x^{6j+3})=1$ Declaración: El número de particiones de $n$ a números que no son de la forma $6k+1$ o $6k-1$ es igual al número de particiones de $n$ en las que cada sumando aparece al menos dos veces.

Se da el cuadrilátero cíclico $ABCD$ con circunferencia circunscrita $\omega$. Sea $E$ un punto fijo en el segmento $AC$. $M$ es un punto arbitrario en $\omega$ , las líneas $AM$ y $BD$ se encuentran en un punto $P$. $EP$ se encuentra con $AB$ y $AD$ en los puntos $R$ y $Q$, respectivamente, $S$ es la intersección de $BQ,DR$ y las líneas $MS$ y $AC$ se encuentran en un punto $T$. Demuestre que a medida que $M$ varía, la circunferencia circunscrita del triángulo $\bigtriangleup CMT$ pasa por un punto fijo distinto de $C$.

El punto $P$ está dentro del triángulo acutángulo $\bigtriangleup ABC$ tal que $\angle BPC=90^{\circ}$ y $\angle BAP=\angle PAC$. Sea $D$ la proyección de $P$ sobre el lado $BC$. Sean $M$ y $N$ los incentros de los triángulos $\bigtriangleup ABD$ y $\bigtriangleup ADC$ respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero $BMNC$ es cíclico.

En el triángulo $\bigtriangleup ABC$ sea $D$ el pie de la altura desde $A$ al lado $BC$ e $I$ , $I_A$ , $I_C$ sean el incentro, el excentro $A$ y el excentro $C$, respectivamente. Denotemos por $P\neq B$ y $Q\neq D$ los otros puntos de intersección del círculo $\bigtriangleup BDI_C$ con las líneas $BI$ y $DI_A$ , respectivamente. Demuestre que $AP=AQ$.

El punto $P$ se encuentra en el lado $CD$ del cuadrilátero cíclico $ABCD$ tal que $\angle CBP = 90^{\circ}$. Sea $K$ la intersección de $AC,BP$ tal que $AK = AP = AD$. $H$ es la proyección de $B$ sobre la línea $AC$. Demuestre que $\angle APH = 90^{\circ}$.