Se da el entero positivo $n$ y para todos los enteros positivos $k$ , $1\leq k\leq n$ , denotamos por $a_{kn}$ el número de todas las secuencias ordenadas $(i_1,i_2,\ldots,i_k)$ de enteros positivos que verifican las siguientes dos condiciones: a) $1\leq i_1<i_2< \cdots i_k \leq n$ ; b) $i_{r+1}-i_r \equiv 1 \pmod 2$ , para todo $r \in\{1,2,\ldots,k-1\}$ . Calcule el número $a(n) = \sum\limits_{k=1}^n a_{kn}$ .

En el plano se dan las líneas $\ell_1$ , $\ell_2$ , el círculo $\mathcal{C}$ con su centro en la línea $\ell_1$ y un segundo círculo $\mathcal{C}_1$ que es tangente a $\ell_1$ , $\ell_2$ y $\mathcal{C}$ . Encuentre el lugar geométrico del punto tangente entre $\mathcal{C}$ y $\mathcal{C}_1$ mientras que el centro de $\mathcal{C}$ es variable en $\ell_1$ .

Las celdas de un tablero de ajedrez de $11\times 11$ se colorean en 3 colores. Pruebe que existe en el tablero un rectángulo de $m\times n$ tal que las cuatro celdas interiores al rectángulo y que contienen los cuatro vértices del rectángulo tienen el mismo color.

Demuestre que para todos los enteros positivos $0<a_1<a_2<\cdots <a_n$ se cumple la siguiente desigualdad: \[ (a_1+a_2+\cdots + a_n)^2 \leq a_1^3+a_2^3 + \cdots + a_n^3 . \]

Considere todos los polígonos regulares convexos y estrellados inscritos en un círculo dado y que tienen $n$ lados. Decimos que dos de tales polígonos son equivalentes si es posible obtener uno del otro usando una rotación alrededor del centro del círculo. ¿Cuántas clases de tales polígonos existen?

Sea $OABC$ un ángulo triedro tal que \[ \angle BOC = \alpha, \quad \angle COA = \beta, \quad \angle AOB = \gamma , \quad \alpha + \beta + \gamma = \pi . \] Para cualquier punto interior $P$ del ángulo triedro, sean $P_1$ , $P_2$ y $P_3$ las proyecciones de $P$ en las tres caras. Pruebe que $OP \geq PP_1+PP_2+PP_3$ .

Encuentre todos los vectores de $n$ números reales $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ tales que \[ \left\{ \begin{array}{ccc} x_1 & = & \dfrac 1{x_2} + \dfrac 1{x_3} + \cdots + \dfrac 1{x_n } \\ x_2 & = & \dfrac 1{x_1} + \dfrac 1{x_3} + \cdots + \dfrac 1{x_n} \\ \ & \cdots & \\\ x_n & = & \dfrac 1{x_1} + \dfrac 1{x_2} + \cdots + \dfrac 1{x_{n-1}} \end{array} \right. \]

Considere una esfera y un plano $\pi$ . Para un punto variable $M \in \pi$ , exterior a la esfera, se considera el cono circular con vértice en $M$ y tangente a la esfera. Encuentre el lugar geométrico de los centros de todos los círculos que aparecen como puntos tangentes entre la esfera y el cono.

Supongamos que se hace una regresión de $X\sim Y$. Resulta que nuestra matriz de datos $X$ es invertible. a) ¿Cuál es el error cuadrado de la regresión? b) ¿Cómo se interpreta esto geométricamente?

En un encuentro de basquetbol del equipo $A$ contra el equipo $B$, el auditorio tiene asientos acomodados en un arreglo rectangular. En cada una de las filas se encuentran sentados 11 espectadores que apoyan al equipo $A$. En cada columna hay 14 espectadores que le van al equipo $B$. Quedaron vacíos 17 asientos. ¿Cuántos asientos puede tener el auditorio?