Encuentre todos los números naturales $n$ mayores que $2$ tales que existen $n$ números naturales $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$ tales que no todos son iguales, y la secuencia $a_{1}a_{2},a_{2}a_{3},\ldots,a_{n}a_{1}$ forma una progresión aritmética con diferencia común distinta de cero.

En el triángulo acutángulo $ABC$ el ángulo $B$ es mayor que $C$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. $D$ y $E$ son los pies de la altura desde $C$ y $B$ respectivamente. $K$ y $L$ son los puntos medios de $ME$ y $MD$ respectivamente. Si $KL$ interseca la línea que pasa por $A$ paralela a $BC$ en $T$, demuestre que $TA=TM$.

Sea $ABC$ un triángulo y $X$ un punto en su circuncírculo. $Q,P$ se encuentran en una línea $BC$ tal que $XQ\perp AC , XP\perp AB$ . Sea $Y$ el circuncentro de $\triangle XQP$ . Demostrar que $ABC$ es un triángulo equilátero si y solo si $Y$ se mueve en un círculo cuando $X$ varía en el circuncírculo de $ABC$ .

Hay cinco niños inteligentes sentados alrededor de una mesa redonda. Su maestro dice: 'Les di algunas manzanas a algunos de ustedes, y ninguno de ustedes tiene la misma cantidad de manzanas. Además, cada uno de ustedes sabrá la cantidad de manzanas que tiene la persona a su izquierda y la persona a su derecha.' El maestro dice la cantidad total de manzanas, luego les pide a los niños que adivinen la diferencia de la cantidad de manzanas que tienen los dos niños frente a ellos. $a)$ Si la cantidad total de manzanas es menor que $16$ , demuestre que al menos uno de los niños adivinará la diferencia correctamente. $b)$ Demuestre que el maestro puede dar un total de $16$ manzanas de tal manera que nadie pueda adivinar la diferencia correctamente.

Sean $x,y$ dos números reales positivos tales que $x^4-y^4=x-y$ . Demostrar que $$\frac{x-y}{x^6-y^6}\leq \frac{4}{3}(x+y).$$

Sea $n$ un número natural divisible por $3$ . Tenemos una tabla de $n \times n$ y cada cuadrado está coloreado de negro o blanco. Suponga que para todas las subtablas de $m \times m$ de la tabla ( $m > 1$ ) , el número de cuadrados negros no es mayor que el número de cuadrados blancos. Encuentre el número máximo de cuadrados negros.

Sea $ABCD$ un trapecio isósceles tal que $AB \parallel CD$ . Suponga que existe un punto $P$ en $ABCD$ tal que $\angle APB > \angle ADC$ y $\angle DPC > \angle ABC$ . Demostrar que $$AB+CD>DA+BC.$$

a) Demostrar que no existe una secuencia $a_1,a_2,a_3,... \in \mathbb{N}$ tal que: $\forall i<j: gcd(a_i+j,a_j+i)=1$ b) Sea $p$ un número primo impar. Demostrar que existe una secuencia $a_1,a_2,a_3,... \in \mathbb{N}$ tal que: $\forall i<j: p \not | gcd(a_i+j,a_j+i)$

Dos puntos $X, Y$ se encuentran en el arco $BC$ de la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ (este arco no contiene a $A$ ) tal que $\angle BAX = \angle CAY$ . Sea $M$ el punto medio de la cuerda $AX$ . Demuestra que $BM +CM > AY$ .

En un triángulo ABC tenemos $\angle C = \angle A + 90^o$ . El punto $D$ en la continuación de $BC$ está dado tal que $AC = AD$ . Un punto $E$ en el lado de $BC$ en el que $A$ no se encuentra se elige tal que $\angle EBC = \angle A, \angle EDC = \frac{1}{2} \angle A$ . Demuestra que $\angle CED = \angle ABC$ .