El triángulo equilátero $ABC$ está partido como se muestra en la figura. El área de $GFC$ es $x$, el área de $EFG$ es $2x$, el área de $EDF$ es $3x$, el área de $BED$ es $4x$ y el área de $BAD$ es $5x$. Si $|AD|=2$, ¿cuánto mide $EG$? [image]

En los cuadritos de la siguiente figura se deben distribuir los números enteros del 1 al 10 de tal forma que sean iguales las sumas de los números en cada columna y en cada renglón. ¿Cuál es el máximo valor que puede tener esa suma? [image]

El producto de 3 números enteros distintos es 6336. Si el mayor es igual a 12 veces el menor, ¿cuáles son los tres números?

La sucesión 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, \.\.\. contiene todas las potencias de 3 y todos los números que se pueden escribir como suma de dos o más potencias distintas de 3. Notamos que $820 =3^6+3^4+3^2+1$, así que 820 es un término de esta sucesión. ¿En qué lugar de la sucesión se encuentra el número 820?

Dos círculos cortan un rectángulo y los segmentos fuera de los círculos miden $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, como se muestra. Probar que $a + e + c = d + b + f$. [image]

Un número entero $n$ tiene 3 dígitos distintos de cero. Cuando se le resta el número $k$ formado por los mismos dígitos pero en el orden inverso, el resultado es un entero positivo cuya cifra de unidades es 6. ¿Cuánto vale $n - k$?

Con centro en los vértices y en los puntos medios de los lados de un triángulo equilátero de lado 4 se trazan arcos de círculo para formar la figura que se muestra. ¿Cuánto vale el área sombreada? [image]

Se quiere convertir la cuadrícula de cuadros unitarios que se muestra a la izquierda en la cuadrícula que se muestra a la derecha. Se permite hacer la siguiente operación: Escoger dos cuadros unitarios que compartan un lado, y cambiar el color de cada uno, es decir, cada vez que se escoge uno blanco, ése se convierte en negro y viceversa. ¿Cuál es el mínimo número de operaciones necesarias para lograrlo? [image]

En un grupo con 2021 personas, cada una tiene un número de lista del 1 al 2021. Si se sabe que cada una de las personas con número de lista del 1 al 2020 estrechó la mano de exactamente tantas personas del grupo como su número de lista, ¿con cuántas personas estrechó la mano la persona con número de lista 2021?

Los enteros del 1 al 1000 se escriben en línea, en algún orden, y se calculan todas las sumas de cada tres números consecutivos en la lista. Por ejemplo, si los 5 primeros números de la línea fueran 8, 231, 1000, 12, 400, las 3 primeras sumas serían $$8 + 231 + 1000 = 1239,$$ $$231 + 1000 + 12 = 1243,$$ $$1000 + 12 + 400 = 1412.$$ ¿Cúal es el máximo número de sumas impares que pueden obtenerse?