Cada uno de Mahdi y Morteza ha dibujado un $93$ - gono inscrito. Denotemos el primero por $A_1A_2…A_{93}$ y el segundo por $B_1B_2…B_{93}$ . Se sabe que $A_iA_{i+1} // B_iB_{i+1}$ para $1 \le i \le 93$ ( $A_{93} = A_1, B_{93} = B_1$ ) . Demuestra que $\frac{A_iA_{i+1} }{ B_iB_{i+1}}$ es un número constante independiente de $i$ .

El círculo inscrito de $\triangle ABC$ toca a $BC, AC$ y $AB$ en $D,E$ y $F$ respectivamente. Denotemos los pies perpendiculares desde $F, E$ a $BC$ por $K, L$ respectivamente. Sea la segunda intersección de estas perpendiculares con el círculo inscrito $M, N$ respectivamente. Demuestra que $\frac{{{S}_{\triangle BMD}}}{{{S}_{\triangle CND}}}=\frac{DK}{DL}$.

ABC es un triángulo con A=90 y C=30. Sea M el punto medio de BC. Sea W un círculo que pasa por A tangente en M a BC. Sea P la circunferencia circunscrita de ABC. W interseca a AC en N y a P en M. Demuestra que MN es perpendicular a BC.

Sean los puntos $A, B$ y $C$ sobre la parábola $\Delta$ tales que el punto $H$ , ortocentro del triángulo $ABC$ , coincide con el foco de la parábola $\Delta$ . Demuestre que al cambiar la posición de los puntos $A, B$ y $C$ en $\Delta$ de modo que el ortocentro permanezca en $H$ , el inradio del triángulo $ABC$ permanece sin cambios. Propuesto por Mahdi Etesamifard Dadgarnia

Dado un triángulo $ABC$ agudo no isósceles con circunferencia circunscrita $\Gamma$ . $M$ es el punto medio del segmento $BC$ y $N$ es el punto medio del arco $BC$ de $\Gamma$ (el que no contiene a $A$ ) . $X$ e $Y$ son puntos en $\Gamma$ tales que $BX\parallel CY\parallel AM$ . Asuma que existe un punto $Z$ en el segmento $BC$ tal que la circunferencia circunscrita del triángulo $XYZ$ es tangente a $BC$ . Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $ZMN$ . La línea $AM$ se encuentra con $\omega$ por segunda vez en $P$ . Sea $K$ un punto en $\omega$ tal que $KN\parallel AM$ , sea $\omega_b$ un círculo que pasa por $B$ , $X$ y es tangente a $BC$ y sea $\omega_c$ un círculo que pasa por $C$ , $Y$ y es tangente a $BC$ . Demuestre que el círculo con centro $K$ y radio $KP$ es tangente a 3 círculos $\omega_b$ , $\omega_c$ y $\Gamma$ . Propuesto por Tran Quan - Vietnam Dadgarnia

Los círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ tienen centros $O_1$ y $O_2$ , respectivamente. Estos dos círculos se intersecan en los puntos $X$ y $Y$ . $AB$ es la línea tangente común de estos dos círculos tal que $A$ se encuentra en $\omega_1$ y $B$ se encuentra en $\omega_2$ . Sean las tangentes a $\omega_1$ y $\omega_2$ en $X$ intersecan a $O_1O_2$ en los puntos $K$ y $L$ , respectivamente. Suponga que la línea $BL$ interseca a $\omega_2$ por segunda vez en $M$ y la línea $AK$ interseca a $\omega_1$ por segunda vez en $N$ . Demuestre que las líneas $AM, BN$ y $O_1O_2$ concurren. Propuesto por Dominik Burek - Polonia Dadgarnia

¿Es cierto que en cualquier $n$ - gono convexo con $n > 3$ , existe un vértice y una diagonal que pasa por este vértice tal que los ángulos de esta diagonal con ambos lados adyacentes a este vértice son agudos? Propuesto por Boris Frenkin - Rusia Dadgarnia

Los círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ se intersecan en los puntos $A$ y $B$ . El punto $C$ se encuentra en la línea tangente desde $A$ a $\omega_1$ tal que $\angle ABC = 90^\circ$ . Una línea arbitraria $\ell$ pasa por $C$ y corta a $\omega_2$ en los puntos $P$ y $Q$ . Las líneas $AP$ y $AQ$ cortan a $\omega_1$ por segunda vez en los puntos $X$ y $Z$ respectivamente. Sea $Y$ el pie de la altitud desde $A$ a $\ell$ . Demuestre que los puntos $X, Y$ y $Z$ son colineales. Propuesto por Iman Maghsoudi Dadgarnia

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A = 60^\circ$ . Los puntos $E$ y $F$ son los pies de las bisectrices de los vértices $B$ y $C$ respectivamente. Los puntos $P$ y $Q$ se consideran tales que los cuadriláteros $BFPE$ y $CEQF$ son paralelogramos. Demuestre que $\angle PAQ > 150^\circ$ . (Considere el ángulo $PAQ$ que no contiene el lado $AB$ del triángulo.) Propuesto por Alireza Dadgarnia Dadgarnia

Sea $ABCD$ un paralelogramo y sea $K$ un punto en la línea $AD$ tal que $BK=AB$ . Suponga que $P$ es un punto arbitrario en $AB$ , y la mediatriz de $PC$ interseca a la circunferencia circunscrita del triángulo $APD$ en los puntos $X$ , $Y$ . Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $ABK$ pasa por el ortocentro del triángulo $AXY$ . Propuesto por Iman Maghsoudi Dadgarnia