Hay cinco niños inteligentes sentados alrededor de una mesa redonda. Su maestro dice: 'Les di algunas manzanas a algunos de ustedes, y ninguno de ustedes tiene la misma cantidad de manzanas. Además, cada uno de ustedes sabrá la cantidad de manzanas que tiene la persona a su izquierda y la persona a su derecha.' El maestro dice la cantidad total de manzanas, luego les pide a los niños que adivinen la diferencia de la cantidad de manzanas que tienen los dos niños frente a ellos. $a)$ Si la cantidad total de manzanas es menor que $16$ , demuestre que al menos uno de los niños adivinará la diferencia correctamente. $b)$ Demuestre que el maestro puede dar un total de $16$ manzanas de tal manera que nadie pueda adivinar la diferencia correctamente.