Suponga que $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ es una función para la cual la expresión $af(a)+bf(b)+2ab$ para todos $a,b \in \mathbb{N}$ es siempre un cuadrado perfecto. Pruebe que $f(a)=a$ para todos $a \in \mathbb{N}$ .

Sea $ABC$ un triángulo y $A',B',C'$ los puntos medios de $BC,CA,AB$ respectivamente. Sean $P$ y $P'$ puntos en el plano tales que $PA=P'A',PB=P'B',PC=P'C'$ . Pruebe que todos los $PP'$ pasan por un punto fijo.

Encuentre el valor mínimo de $k$ tal que para todos $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ la desigualdad \[ \begin{array} c \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)} +\sqrt{(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)} +\sqrt{(c^2+1)(d^2+1)(a^2+1)} +\sqrt{(d^2+1)(a^2+1)(b^2+1)} \\ \\ \ge 2( ab+bc+cd+da+ac+bd)-k \end{array}\] se cumple.

Tenemos $n$ puntos en el plano tales que no todos son colineales. Llamamos a una línea $\ell$ una línea 'buena' si podemos dividir esos $n$ puntos en dos conjuntos $A,B$ tales que la suma de las distancias de todos los puntos en $A$ a $\ell$ es igual a la suma de las distancias de todos los puntos en $B$ a $\ell$ . Demuestre que existen infinitos puntos en el plano tales que para cada uno de ellos tenemos al menos $n+1$ líneas buenas que pasan por ellos.

Sea $p$ un primo y $k$ un entero positivo tal que $k \le p$ . Sabemos que $f(x)$ es un polinomio en $\mathbb Z[x]$ tal que para todo $x \in \mathbb{Z}$ tenemos $p^k | f(x)$ . (a) Demuestre que existen polinomios $A_0(x),\ldots,A_k(x)$ todos en $\mathbb Z[x]$ tales que \[ f(x)=\sum_{i=0}^{k} (x^p-x)^ip^{k-i}A_i(x),\] (b) Encuentre un contraejemplo para cada primo $p$ y cada $k > p$ .

Encuentre el lugar geométrico de los puntos $P$ en un triángulo equilátero $ABC$ para los cuales la raíz cuadrada de la distancia de $P$ a uno de los lados es igual a la suma de la raíz cuadrada de la distancia de $P$ a los otros dos lados.

Se da el círculo $\omega$ con centro $O$. Desde un punto arbitrario $T$ fuera de $\omega$ dibuje las tangentes $TB$ y $TC$ a él. $K$ y $H$ están en $TB$ y $TC$ respectivamente. a) $B'$ y $C'$ son el segundo punto de intersección de $OB$ y $OC$ con $\omega$ respectivamente. $K'$ y $H'$ están en las bisectrices del ángulo $\angle BCO$ y $\angle CBO$ respectivamente tales que $KK' \bot BC$ y $HH'\bot BC$ . Pruebe que $K,H',B'$ son colineales si y sólo si $H,K',C'$ son colineales. b) Considere que existen dos círculos en $TBC$ tales que son tangentes entre sí en $J$ y ambos son tangentes a $\omega$ . y uno de ellos es tangente a $TB$ en $K$ y el otro es tangente a $TC$ en $H$ . Pruebe que dos cuadriláteros $BKJI$ y $CHJI$ son cíclicos ( $I$ es el incentro del triángulo $OBC$ ).

Encuentre todas las funciones sobreyectivas $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tales que para cada $x,y\in \mathbb R,$ tenemos \[f(x+f(x)+2f(y))=f(2x)+f(2y).\]

Defina un conjunto finito $A$ como 'bueno' si satisface las siguientes condiciones: (a) Para cada tres elementos disjuntos de $A$, como $a,b,c$ tenemos $\gcd(a,b,c)=1;$ (b) Para cada dos $b,c\in A$ distintos, existe un $a\in A$ distinto de $b,c$ tal que $bc$ es divisible por $a.$ Encuentre todos los conjuntos buenos.

Hay $n$ puntos en un círculo ( $n>1$ ). Defina un 'intervalo' como un arco de un círculo tal que su inicio y finalización son de esos puntos. Considere una familia de intervalos $F$ tal que para cada elemento de $F$ como $A$ hay casi otro elemento de $F$ como $B$ tal que $A \subseteq B$ (en este caso llamamos a $A$ sub-intervalo de $B$ ). Llamamos a un intervalo maximal si no es un sub-intervalo de ningún otro intervalo. Si $m$ es el número de elementos maximales de $F$ y $a$ es el número de elementos no maximales de $F$, demuestre que $n\geq m+\frac a2.$