Olimpiada Junior de Selección de Equipos Balcánicos - Rumania 2001 Problema 2
Encuentre todos los $n\in\mathbb{Z}$ tales que el número $\sqrt{\frac{4n-2}{n+5}}$ es racional.
Olimpiada Junior de Selección de Equipos Balcánicos - Rumania 2001 Problema 1
Sea $ABC$ un triángulo arbitrario. Un círculo pasa por $B$ y $C$ e interseca las rectas $AB$ y $AC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Las proyecciones de los puntos $B$ y $E$ sobre $CD$ se denotan por $B'$ y $E'$, respectivamente. Las proyecciones de los puntos $D$ y $C$ sobre $BE$ se denotan por $D'$ y $C'$, respectivamente. Pruebe que los puntos $B',D',E'$ y $C'$ están en el mismo círculo.
Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 1988 Problema 16
Se dan los conjuntos finitos $A_1$ , $A_2$ , $\ldots$ , $A_n$ y denotamos por $d(n)$ el número de elementos que aparecen exactamente en un número impar de conjuntos elegidos de $A_1$ , $A_2$ , $\ldots$ , $A_n$ . Pruebe que para cualquier $k$ , $1\leq k\leq n$ el número \[{ d(n) - \sum\limits^n_{i=1} |A_i| + 2\sum\limits_{ i<j} |A_i \cap A_j | - \cdots + (-1)^k2^{k-1} \sum\limits_{i_1 <i_2 <\cdots < i_k} | A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \cdots \cap A_{i_k}|} \] es divisible por $2^k$ .
Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 1988 Problema 15
Sea $[a,b]$ un intervalo dado de números reales que no contiene enteros. Pruebe que existe $N>0$ tal que $[Na,Nb]$ no contiene números enteros y la longitud del intervalo $[Na,Nb]$ excede $\dfrac 16$ .
Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 1988 Problema 14
Sea $\Delta$ el conjunto de todos los triángulos en un plano. Considere la función $f: \Delta\to(0,\infty)$ definida por $f(ABC) = \min \left( \dfrac ba, \dfrac cb \right)$ , para cualquier triángulo $ABC$ con $BC=a\leq CA=b\leq AB = c$ . Encuentre el conjunto de valores de $f$ .
Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 1988 Problema 11
Sean $x,y,z$ números reales con $x+y+z=0$ . Pruebe que \[ |\cos x |+ |\cos y| +| \cos z | \geq 1 . \]
Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 1988 Problema 13
Sea $a$ un entero positivo. La secuencia $\{x_n\}_{n\geq 1}$ se define por $x_1=1$ , $x_2=a$ y $x_{n+2} = ax_{n+1} + x_n$ para todo $n\geq 1$ . Pruebe que $(y,x)$ es una solución de la ecuación \[ |y^2 - axy - x^2 | = 1 \] si y solo si existe un rango $k$ tal que $(y,x)=(x_{k+1},x_k)$ .
Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 1988 Problema 10
Sea $ p > 2$ un número primo. Encuentre el menor número positivo $ a$ que se puede representar como \[ a = (X - 1)f(X) + (X^{p - 1} + X^{p - 2} + \cdots + X + 1)g(X), \] donde $ f(X)$ y $ g(X)$ son polinomios enteros.
Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 1988 Problema 12
Los cuatro vértices de un cuadrado son los centros de cuatro círculos tales que la suma de sus áreas es igual al área del cuadrado. Tome un punto arbitrario en el interior de cada círculo. Pruebe que los cuatro puntos arbitrarios son los vértices de un cuadrilátero convexo.
Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 1988 Problema 9
Pruebe que para todos los enteros positivos $n\geq 1$ el número $\prod^n_{k=1} k^{2k-n-1}$ es también un número entero.