Para enteros no negativos $m$ y $n$ , defina la secuencia $a(m,n)$ de números reales de la siguiente manera. Establezca $a(0,0)=2$ y para cada número natural $n$ , establezca $a(0,n)=1$ y $a(n,0)=2$ . Entonces para $m,n\geq1$ , defina \[ a(m,n)=a(m-1,n)+a(m,n-1). \] Demuestre que para cada número natural $k$ , todas las raíces del polinomio $P_{k}(x)=\sum_{i=0}^{k}a(i,2k+1-2i)x^{i}$ son reales.

Encuentre el número máximo de subconjuntos de $\left \{ 1,...,n \right \}$ tal que para cualesquiera dos de ellos como $A,B$ si $A\subset B$ entonces $\left | B-A \right |\geq 3$ . (Aquí $\left | X \right |$ es el número de elementos del conjunto $X$ . )

En el triángulo acutángulo $ABC$, sea $H$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $BC$ y supongamos también que $J$ e $I$ son excentros opuestos al lado $AH$ en los triángulos $ABH$ y $ACH$. Si $P$ es el punto donde el incírculo toca a $BC$, demuestre que $I,J,P,H$ son concíclicos.

Sea $ABC$ un triángulo con el punto medio $M$ de $BC$. Un punto $X$ se llama inmaculado si la línea perpendicular de $X$ a la línea $MX$ interseca las líneas $AB$ y $AC$ en dos puntos que son equidistantes de $M$. Suponga que $U, V, W$ son tres puntos inmaculados en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$. Demuestre que $M$ es el incentro de $\triangle UVW$.

Sean $n \geq k$ enteros positivos y sean $a_1, \dots, a_n$ una lista no creciente de números reales positivos. Demuestre que existen $k$ conjuntos $B_1, \dots, B_k$ que particionan el conjunto $\{1, 2, \dots, n\}$ tal que $$\min_{1 \le j \le k} \left(\sum_{i \in B_j} a_i \right) \geq \min_{1 \le j \le k} \left(\frac{1}{2k+1-2j} \cdot \sum^n_{i=j} a_i\right).$$

Demuestre que no existen enteros $x, y, z$ que satisfagan la ecuación $$x^2+y^2-z^2=xyz-2.$$

Sea $n \ge 3$ un entero. Sea $\mathcal{P}$ el conjunto de vértices de un $n$ -gono regular en el plano. Un polinomio $f(x, y)$ de dos variables con coeficientes reales se llama $\textit{regular}$ si $$\mathcal{P} = \{(u, v) \in \mathbb{R}^2 \, | \, f(u, v) = 0 \}.$$ Encuentre el valor más pequeño posible del grado de un polinomio regular.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncentro $O_1$. Las diagonales $AC$ y $BD$ se encuentran en el punto $P$. Suponga que los cuatro incentros de los triángulos $PAB, PBC, PCD, PDA$ se encuentran en un círculo con centro $O_2$. Demuestre que $P, O_1, O_2$ son colineales.

Una liga consta de $2024$ jugadores. Una ronda implica dividir a los jugadores en dos equipos diferentes y hacer que cada miembro de un equipo juegue con cada miembro del otro equipo. Una ronda se llama equilibrada si ambos equipos tienen el mismo número de jugadores. Un torneo consta de varias rondas al final de las cuales dos jugadores cualesquiera han jugado entre sí. El comité organizó un torneo el año pasado que constó de $N$ rondas. Demuestre que el comité puede organizar un torneo este año con $N$ rondas equilibradas.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo inscrito en un círculo $\omega$ con centro $O$ . Los puntos $E$ , $F$ están en sus lados $AC$ , $AB$ , respectivamente, tal que $O$ está en $EF$ y $BCEF$ es cíclico. Sean $R$ , $S$ las intersecciones de $EF$ con los arcos menores $AB$ , $AC$ de $\omega$ , respectivamente. Supón que $K$ , $L$ son la reflexión de $R$ con respecto a $C$ y la reflexión de $S$ con respecto a $B$ , respectivamente. Supón que los puntos $P$ y $Q$ están en las líneas $BS$ y $RC$ , respectivamente, tal que $PK$ y $QL$ son perpendiculares a $BC$ . Demuestra que el círculo con centro $P$ y radio $PK$ es tangente a la circunferencia de $RCE$ si y sólo si el círculo con centro $Q$ y radio $QL$ es tangente a la circunferencia de $BFS$ .