Sea un número natural $ n. $ Calcula $$ \sum_{k=1}^{n^2}\#\left\{ d\in\mathbb{N}| 1\le d\le k\le d^2\le n^2\wedge k\equiv 0\pmod d \right\} . $$ Aquí, $ \# $ significa cardinal.

Sea $ ABCD $ un cuadrilátero inscrito en un círculo de diámetro $ AC. $ Fija los puntos $ E,F $ de los segmentos $ CD, $ respectivamente, $ BC $ tales que $ AE $ es perpendicular a $ DF $ y $ AF $ es perpendicular a $ BE. $ Muestra que $ AB=AD. $

Sean $ P,Q $ los puntos medios de las diagonales $ BD, $ respectivamente, $ AC, $ del cuadrilátero $ ABCD, $ y los puntos $ M,N,R,S $ en los segmentos $ BC,CD,PQ, $ respectivamente $ AC, $ excepto sus extremos, tales que $$ \frac{BM}{MC}=\frac{DN}{NC}=\frac{PR}{RQ}=\frac{AS}{SC} . $$ Muestra que el centro de masa del triángulo $ AMN $ está situado en el segmento $ RS. $

Sea $ a $ un natural impar que no es un cuadrado perfecto, y $ m,n\in\mathbb{N} . $ Entonces a) $ \left\{ m\left( a+\sqrt a \right) \right\}\neq\left\{ n\left( a-\sqrt a \right) \right\} $ b) $ \left[ m\left( a+\sqrt a \right) \right]\neq\left[ n\left( a-\sqrt a \right) \right] $ Aquí, $ \{\},[] $ denota la parte fraccionaria, respectivamente la parte entera.

Encuentra x, y, z $\in Z$ $x^2+y^2+z^2=2^n(x+y+z)$ $n\in N$

Demuestra que tres discos de radio $1$ no pueden cubrir completamente una superficie cuadrada de lado $2$ , pero pueden cubrir más del $99.75\%$ de ella.

Encuentra el entero más pequeño $n$ para el cual el conjunto $A = \{n, n +1, n +2,...,2n\}$ contiene cinco elementos $a<b<c<d<e$ tal que $$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{c}{e}$$

Sea $ABCDA'B'C'D'$ un cubo con lado $AB = a$ . Considera los puntos $E \in (AB)$ y $F \in (BC)$ tal que $AE + CF = EF$ . a) Determina la medida del ángulo formado por los planos $(D'DE)$ y $(D'DF)$ . b) Calcula la distancia desde $D'$ a la línea $EF$ .

Sean $a,b,c\in \left( 0,\infty \right)$ . Demuestra la desigualdad $\frac{a-\sqrt{bc}}{a+2\left( b+c \right)}+\frac{b-\sqrt{ca}}{b+2\left( c+a \right)}+\frac{c-\sqrt{ab}}{c+2\left( a+b \right)}\ge 0.$

Fuera del cuadrado $ABCD$ se construye el triángulo rectángulo isósceles $ABD$ con hipotenusa $[AB]$ . Sea $N$ el punto medio del lado $[AD]$ y ${M} = CE \cap AB$ , ${P} = CN \cap AB$ , ${F} = PE \cap MN$ . En la línea $FP$ se considera el punto $Q$ tal que el $[CE$ es la bisectriz del ángulo $QCB$ . Demuestra que $MQ \perp CF$ .