Fuera del cuadrado $ABCD$ , se construye el rombo $BCMN$ con ángulo $BCM$ obtuso . Sea $P$ el punto de intersección de las líneas $BM$ y $AN$ . Demuestra que $DM \perp CP$ y el triángulo $DPM$ es rectángulo isósceles .

Encuentra todos los números primos $p$ y $q$ , con $p \le q$ , tal que $$p (2q + 1) + q (2p + 1) = 2 (p^2 + q^2).$$

Sea $p > 3$ un número primo, y sea $F_p$ el conjunto (finito) de clases de residuos módulo $p$ . Sea $S_d$ el conjunto de polinomios de $2$ variables $P(x, y)$ con coeficientes en $F_p$ , grado total $\le d$ , y que satisfacen $P(x, y) = P(y,- x -y)$ . Demuestre que $$|S_d| = p^{\lceil (d+1)(d+2)/6 \rceil}$$ . El grado total de un polinomio de $2$ variables $P(x, y)$ es el valor más grande de $i + j$ entre los monomios $x^iy^j$ que aparecen en $P$ .

Determine todos los enteros $n \ge 3$ cuya expansión decimal tiene menos de $20$ dígitos, tales que todo no residuo cuadrático módulo $n$ es una raíz primitiva módulo $n$ . Un entero $a$ es un no residuo cuadrático módulo $n$ , si no hay un entero $b$ tal que $a - b^2$ es divisible por $n$ . Un entero $a$ es una raíz primitiva módulo $n$ , si para todo entero $b$ relativamente primo con n existe un entero positivo $k$ tal que $a^k - b$ es divisible por $n$ .

Una función $ f:\mathbb{R}_{\ge 0}\longrightarrow\mathbb{R} $ tiene la propiedad que $ \lim_{x\to\infty } \frac{1}{x^2}\int_0^x f(t)dt=1. $ a) Da un ejemplo de lo que $ f $ podría ser si es continua y $ f/\text{id.} $ no tiene un límite en $ \infty . $ b) Prueba que si $ f $ es no decreciente entonces $ f/\text{id.} $ tiene un límite en $ \infty , $ y determínalo.

Sea $G$ un grupo finito con la siguiente propiedad: Si $f$ es un automorfismo de $G$ , entonces existe $m\in\mathbb{N^\star}$ , de modo que $f(x)=x^{m} $ para todo $x\in G$ . Prueba que G es conmutativo.

Sea un número natural $ n $ y $ 2n $ números reales $ b_1,b_2,\ldots ,b_n,a_1<a_2<\cdots <a_n. $ Muestra que a) si $ b_1,b_2,\ldots ,b_n>0, $ entonces existe un polinomio $ f\in\mathbb{R}[X] $ irreducible en $ \mathbb{R}[X] $ tal que $$ f\left( a_i \right) =b_i,\quad\forall i\in\{ 1,2,\ldots ,n \} . $$ b) existe un polinomio $ g\in\mathbb{R} [X] $ de grado al menos $ 1 $ que tiene sólo raíces reales y tal que $$ g\left( a_i \right) =b_i,\quad\forall i\in\{ 1,2,\ldots ,n \} . $$

a) Sea una función continua $ f:\mathbb{R}_{\ge 0}\longrightarrow\mathbb{R}_{>0} . $ Muestra que existe un número natural $ n_0 $ y una sucesión de números reales positivos $ \left( x_n \right)_{n>n_0} $ que satisfacen la siguiente relación. $$ n\int_0^{x_n} f(t)dt=1,\quad n_0<\forall n\in\mathbb{N} $$ b) Prueba que la sucesión $ \left( nx_n \right)_{n> n_0} $ es convergente y encuentra su límite.

Sea una función $ f $ de clase $ \mathcal{C}^1[a,b] $ cuya derivada es positiva. Prueba que existe un número real $ c\in (a,b) $ tal que $$ f(f(b))-f(f(a))=(f'(c))^2(b-a) . $$

Sea un número natural $ n\ge 2 $ y dos $ n\times n $ matrices complejas $ A,B $ que satisfacen $ (AB)^3=O_n. $ ¿Implica esto que $ (BA)^3=O_n ? $