Sea $ABCD$ un trapecio con $AB\parallel CD$ . Sus diagonales se intersecan en un punto $P$ . La línea que pasa por $P$ paralela a $AB$ interseca $AD$ y $BC$ en $Q$ y $R$ , respectivamente. Las bisectrices de los ángulos exteriores de los ángulos $DBA$ , $DCA$ se intersecan en $X$ . Sea $S$ el pie de $X$ sobre $BC$ . Demuestra que si los cuadriláteros $ABPQ$ , $CDQP$ son circunscritos, entonces $PR=PS$ .

En el triángulo $ABC$ $(\angle A\neq 90^\circ)$ , sean $O$ , $H$ el circuncentro y el pie de la altura desde $A$ , respectivamente. Supón que $M$ , $N$ son los puntos medios de $BC$ , $AH$ , respectivamente. Sea $D$ la intersección de $AO$ y $BC$ y sea $H'$ el reflejo de $H$ con respecto a $M$ . Supón que la circunferencia de $OH'D$ interseca la circunferencia de $BOC$ en $E$ . Demuestra que $NO$ y $AE$ son concurrentes en la circunferencia de $BOC$ .

Se nos da un triángulo acutángulo $ABC$ con $AB\neq AC$ . Sea $D$ un punto de $BC$ tal que $DA$ es tangente a la circunferencia de $ABC$ . Sean $E$ y $F$ los circuncentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$ , respectivamente, y sea $M$ el punto medio de $EF$ . Demuestra que la línea tangente a la circunferencia de $AMD$ que pasa por $D$ también es tangente a la circunferencia de $ABC$ .

Cuatro puntos $A$ , $B$ , $C$ y $D$ están en un círculo $\omega$ tal que $AB=BC=CD$ . La línea tangente a $\omega$ en el punto $C$ interseca la línea tangente a $\omega$ en $A$ y la línea $AD$ en $K$ y $L$ . El círculo $\omega$ y la circunferencia del triángulo $KLA$ se intersecan de nuevo en $M$ . Demuestra que $MA=ML$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en un círculo $\omega$ con centro $O$ . Sea $P$ la intersección de las dos diagonales $AC$ y $BD$ . Sea $Q$ un punto que está en el segmento $OP$ . Sean $E$ y $F$ las proyecciones ortogonales de $Q$ sobre las líneas $AD$ y $BC$ , respectivamente. Los puntos $M$ y $N$ están en la circunferencia del triángulo $QEF$ tal que $QM \parallel AC$ y $QN \parallel BD$ . Demuestra que las dos líneas $ME$ y $NF$ se encuentran en la bisectriz perpendicular del segmento $CD$ .

Llamamos a dos polígonos simples $P, Q$ $\textit{compatibles}$ si existe un entero positivo $k$ tal que cada uno de $P, Q$ puede ser dividido en $k$ polígonos congruentes similares al otro. Demuestra que para cada dos enteros pares $m, n \geq 4$ , hay dos polígonos compatibles con $m$ y $n$ lados. (Un polígono simple es un polígono que no se interseca a sí mismo.)

Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$ . Los puntos arbitrarios $M$ y $N$ están en los lados $AC$ y $BC$ , respectivamente. Los puntos $P$ y $Q$ están en el mismo semiplano que el punto $C$ con respecto a la línea $MN$ , y satisfacen $\triangle CMN \sim \triangle PAN \sim \triangle QMB$ (en este orden exacto). Demuestra que $OP=OQ$ .

Dos círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ con el mismo radio se intersecan en dos puntos $E$ y $X$ . Los puntos arbitrarios $C, D$ están en $\omega_1, \omega_2$ . Las líneas paralelas a $XC, XD$ desde $E$ intersecan $\omega_2, \omega_1$ en $A, B$ , respectivamente. Supón que $CD$ interseca $\omega_1, \omega_2$ de nuevo en $P, Q$ , respectivamente. Demuestra que $ABPQ$ es cíclico.

En la figura siguiente tenemos $AX = BY$ . Demuestra que $\angle XDA = \angle CDY$.\nhttps://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/4/6/509f2013e0da5573cc302ebd8f3f0b6b5b63d2.png

a) ¿Existen cuatro triángulos equiláteros en el plano tales que cada dos tengan exactamente un vértice en común, y cada punto en el plano se encuentre en la frontera de a lo sumo dos de ellos? b) ¿Existen cuatro cuadrados en el plano tales que cada dos tengan exactamente un vértice en común, y cada punto en el plano se encuentre en la frontera de a lo sumo dos de ellos? (Ten en cuenta que en ambas partes, no hay suposición sobre la intersección del interior de los polígonos.)