Sea $ f:[1,\infty )\longrightarrow (0,\infty ) $ una función continua que satisface las siguientes propiedades: $ \text{(i)}\exists\lim_{x\to\infty } \frac{f(x)}{x}\in\overline{\mathbb{R}} $ $ \text{(ii)}\exists\lim_{x\to\infty } \frac{1}{x}\int_1^x f(t)dt\in\mathbb{R}. $ a) Muestra que $ \lim_{x\to\infty } \frac{f(x)}{x}=0. $ b) Demuestra que $ \lim_{x\to\infty } \frac{1}{x^2}\int_1^x f^2(t)dt=0. $

Sean $ I,J $ dos intervalos, $ \varphi :J\longrightarrow\mathbb{R} $ una función continua cuya imagen no contiene $ 0, $ y $ f,g:I\longrightarrow J $ dos funciones diferenciables tales que $ f'=\varphi\circ f,g'=\varphi\circ g $ y tales que la imagen de $ f-g $ contiene $ 0. $ Muestra que $ f $ y $ g $ son la misma función.

Para un anillo $ A, $ y un elemento $ a $ de él, define $ s_a,d_a:A\longrightarrow A, s_a(x)=ax,d_a=xa.$ a) Demuestra que si $ A $ es finito, entonces $ s_a $ es inyectiva si y sólo si $ d_a $ es inyectiva. b) Da un ejemplo de un anillo que tiene un elemento $ b $ para el cual $ s_b $ es inyectiva y $ d_b $ no lo es, o, a la inversa, $ s_b $ no es inyectiva, pero $ d_b $ lo es.

Sea $ A\in\mathcal{M}_4\left(\mathbb{R}\right) $ una matriz invertible cuya traza es igual a la traza de su adjunta, que no es cero. Muestra que $ A^2+I $ es singular si y sólo si existe una matriz no nula en $ \mathcal{M}_4\left( \mathbb{R} \right) $ que anticonmuta con ella.

Sean $A,B\in M_n(C)$ dos matrices cuadradas que satisfacen $A^2+B^2 = 2AB$ . 1. Demuestra que $\det(AB-BA)=0$ . 2. Si $rank(A-B)=1$ , entonces demuestra que $AB=BA$ .

Encuentra todas las funciones derivables que tienen dominio y codominio reales, y son iguales a su segunda potencia funcional.

Encuentra todas las funciones continuas $ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ que satisfacen: $ \text{(i)}\text{id}+f $ es no decreciente $ \text{(ii)} $ Existe un número natural $ m $ tal que $ \text{id}+f+f^2\cdots +f^m $ es no creciente. Aquí, $ \text{id} $ representa la función identidad, y ^ denota potencia funcional.

Sea $n \in \mathbb{N} , n \ge 2$ y $ a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n \in \mathbb{C} ; a_n \not = 0 $ . Entonces: P. $|a_nz^n + a_{n-1}z^z{n-1} + \cdots + a_1z + a_0 | \le |a_n+a_0|$ para cualquier $z \in \mathbb{C}, |z|=1$ Q . $a_1=a_2=\cdots=a_{n-1}=0$ y $a_0/a_n \in [0,\infty)$ Demuestra que $ P \Longleftrightarrow Q$

Sea $ n $ un número natural, y $ A $ el conjunto de los primeros $ n $ números naturales. Encuentra el número de funciones no decrecientes $ f:A\longrightarrow A $ que tienen la propiedad $$ x,y\in A\implies |f(x)-f(y)|\le |x-y|. $$

Sea una función $ f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N} $ que satisface $ \text{(i)} f(1)=1 $ $ \text{(ii)} f(p)=1+f(p-1), $ para cualquier primo $ p $ $ \text{(iii)} f(p_1p_2\cdots p_u)=f(p_1)+f(p_2)+\cdots f(p_u), $ para cualquier número natural $ u $ y cualquier primo $ p_1,p_2,\ldots ,p_u. $ Muestra que $ 2^{f(n)}\le n^3\le 3^{f(n)}, $ para cualquier natural $ n\ge 2. $