$P$ es un punto arbitrario dentro del triángulo acutángulo $ABC$ . Sean $A_1,B_1,C_1$ las reflexiones del punto $P$ con respecto a los lados $BC,CA,AB$ . Pruebe que el centroide del triángulo $A_1B_1C_1$ se encuentra dentro del triángulo $ABC$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico inscrito en el círculo $\omega$ . Sean $I_{1},I_{2}$ y $r_{1},r_{2}$ los incentros y radios de los incírculos de los triángulos $ACD$ y $ABC$ , respectivamente. Asuma que $r_{1}=r_{2}$ . Sea $\omega'$ un círculo que toca a $AB,AD$ y toca a $\omega$ en $T$ . Las tangentes desde $A,T$ a $\omega$ se encuentran en el punto $K$ . Pruebe que $I_{1},I_{2},K$ se encuentran en una línea.

Sean $a,b,c$ los lados de un triángulo tales que $a\geq b \geq c$ . pruebe que: $\sqrt{a(a+b-\sqrt{ab})}+\sqrt{b(a+c-\sqrt{ac})}+\sqrt{c(b+c-\sqrt{bc})}\geq a+b+c$

En cada arista de un gráfico se escribe un número real, de tal manera que para cada recorrido par de este gráfico, la suma de las aristas con signos alternativamente positivos y negativos es cero. Pruebe que se puede asignar a cada uno de los vértices del gráfico un número real tal que la suma de los números en dos vértices adyacentes sea el número en la arista entre ellos. (El recorrido es un camino cerrado desde las aristas del gráfico que puede tener aristas o vértices repetidos)

Encuentre todas las funciones $f,g:\mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ tales que $f$ es creciente y también: $f(f(x)+2g(x)+3f(y))=g(x)+2f(x)+3g(y)$ $g(f(x)+y+g(y))=2x-g(x)+f(y)+y$

Encuentre todas las progresiones aritméticas $a_{1},a_{2},...$ de números naturales para las cuales existe un número natural $N>1$ tal que para cada $k\in \mathbb{N}$ : $a_{1}a_{2}...a_{k}\mid a_{N+1}a_{N+2}...a_{N+k}$

Números reales no negativos $p_{1},\ldots,p_{n}$ y $q_{1},\ldots,q_{n}$ son tales que $p_{1}+\cdots+p_{n}=q_{1}+\cdots+q_{n}$ Entre todas las matrices con entradas no negativas que tienen $p_i$ como suma de las entradas de la fila $i$ - ésima y $q_j$ como suma de las entradas de la columna $j$ - ésima, encuentre la suma máxima de las entradas en la diagonal principal.

Los puntos $A, B, C$ y $D$ se encuentran en la línea $l$ en este orden. Dos arcos circulares $C_1$ y $C_2$ , que ambos se encuentran en un lado de la línea $l$ , pasan por los puntos $A$ y $B$ y dos arcos circulares $C_3$ y $C_4$ pasan por los puntos $C$ y $D$ tales que $C_1$ es tangente a $C_3$ y $C_2$ es tangente a $C_4$ . Demuestre que la tangente externa común de $C_2$ y $C_3$ y la tangente externa común de $C_1$ y $C_4$ se encuentran entre sí en la línea $l$ .

¿Existen números naturales $a, b$ y $c$ tales que $a^2+b^2+c^2$ es divisible por $2013(ab+bc+ca)$ ?

$m$ y $n$ son dos enteros no negativos. En el Ajedrez del Filósofo, el tablero de ajedrez es una cuadrícula infinita de hexágonos regulares idénticos y una nueva pieza llamada el Burro se mueve sobre él de la siguiente manera: Comenzando desde uno de los hexágonos, el Burro se mueve $m$ celdas en una de las $6$ direcciones, luego gira $60$ grados en el sentido de las agujas del reloj y después de eso se mueve $n$ celdas en esta nueva dirección hasta que alcanza su celda final. ¿A lo sumo cuántas celdas hay en el tablero de ajedrez del Filósofo tales que uno no puede ir de cualquiera de ellas a la otra con un número finito de movimientos del Burro?