Se dan 1400 números reales. Demuestre que se pueden elegir tres de ellos como $x, y, z$ tales que: $$\n\left|\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{x^4+y^4+z^4+1}\right| < 0.009$$

Se dan $n$ puntos en un círculo $\omega$. Hay un círculo con radio menor que $\omega$ tal que todos estos puntos se encuentran dentro o en el límite de este círculo. Demuestre que podemos dibujar un diámetro de $\omega$ con puntos extremos que no pertenezcan a los puntos dados de tal manera que todos los $n$ puntos dados permanezcan en un lado del diámetro.

El círculo $\omega$ está inscrito en el cuadrilátero $ABCD$ y es tangente a los segmentos $BC, AD$ en $E, F$, respectivamente. $DE$ interseca a $\omega$ por segunda vez en $X$. Si la circunferencia circunscrita del triángulo $DFX$ es tangente a las líneas $AB$ y $CD$, demuestre que el cuadrilátero $AFXC$ es cíclico.

Llamemos a un entero positivo $n$ 'Fantástico' si ninguno de sus dígitos es cero y es posible eliminar uno de sus dígitos y llegar a un entero que es un divisor de $n$. (Por ejemplo, 25 es fantástico, ya que si eliminamos el dígito 2, el número resultante sería 5, que es divisor de 25) Demuestre que el número de números Fantásticos es finito.

Hay dos puntos distintos $A$ y $B$ en una línea. Coloreamos un punto $P$ en el segmento $AB$, distinto de $A, B$ y el punto medio del segmento $AB$ de rojo. En cada movimiento, podemos reflejar uno de los puntos rojos con respecto a $A$ o $B$ y colorear el punto medio del punto resultante y el punto del que reflejamos (que es uno de $A$ o $B$) de rojo. Por ejemplo, si elegimos $P$ y la reflexión de $P$ con respecto a $A$ es $P'$, entonces el punto medio de $AP'$ sería rojo. ¿Es posible hacer que el punto medio de $AB$ sea rojo después de un número finito de movimientos?

Un tipo especial de mosaico de paralelogramo está formado por la unión de los catetos de dos triángulos rectángulos isósceles de lado $1$ . Queremos colocar una serie de estos mosaicos en el suelo de una habitación de $n\times n$ de manera que la distancia desde cada vértice de cada mosaico a los lados de la habitación sea un entero y que además no haya dos mosaicos que se superpongan. Pruebe que al menos un área $n$ de la habitación no estará cubierta por los mosaicos.

En el triángulo $ABC$ , $AD$ y $AH$ son la bisectriz del ángulo y la altura del vértice $A$ , respectivamente. La bisectriz perpendicular de $AD$ , interseca a los semicírculos con diámetros $AB$ y $AC$ que se dibujan fuera del triángulo $ABC$ en $X$ e $Y$ , respectivamente. Pruebe que el cuadrilátero $XYDH$ es concíclico.

La función $f:\mathbb Z \to \mathbb Z$ tiene la propiedad de que para todos los enteros $m$ y $n$ \[f(m)+f(n)+f(f(m^2+n^2))=1.\] Sabemos que existen enteros $a$ y $b$ tales que $f(a)-f(b)=3$ . Pruebe que se pueden encontrar enteros $c$ y $d$ tales que $f(c)-f(d)=1$ .

a) ¿Existe una secuencia $a_1<a_2<\dots$ de enteros positivos, tal que hay un entero positivo $N$ tal que $\forall m>N$ , $a_m$ tiene exactamente $d(m)-1$ divisores entre $a_i$ s ? b) ¿Existe una secuencia $a_1<a_2<\dots$ de enteros positivos, tal que hay un entero positivo $N$ tal que $\forall m>N$ , $a_m$ tiene exactamente $d(m)+1$ divisores entre $a_i$ s ?

Tenemos $n$ rectángulos en el plano. Pruebe que entre $4n$ ángulos rectos formados por estos rectángulos hay al menos $[4\sqrt n]$ ángulos rectos distintos.