Sean $a, b, c, d$ números reales positivos tales que $abc+bcd+cda+dab = 4$. Demuestra que $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \ge 4$

Sea $n \ge 6$ un entero. Tenemos a nuestra disposición $n$ colores. Coloreamos cada uno de los cuadrados unitarios de un tablero de $n \times n$ con uno de los $n$ colores.\na) Demuestra que, para cualquier coloración, existe un camino de un caballo de ajedrez desde la esquina inferior izquierda hasta la esquina superior derecha, que no usa todos los colores.\nb) Demuestra que, si reducimos el número de colores a $\lfloor 2n/3 \rfloor + 2$, entonces la declaración de a) es verdadera para infinitos valores de $n$ y es falsa también para infinitos valores de $n$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $D \in (BC) , E \in (AD)$ puntos móviles. El circuncírculo del triángulo $CDE$ se encuentra con la mediana desde $C$ del triángulo $ABC$ en $F$. Demuestra que el circuncentro del triángulo $AEF$ está en una línea fija.

Determina todos los números reales $x, y, z \in (0, 1)$ que satisfacen simultáneamente las condiciones: $(x^2 + y^2)\sqrt{1- z^2}\ge z$ $(y^2 + z^2)\sqrt{1- x^2}\ge x$ $(z^2 + x^2)\sqrt{1- y^2}\ge y$

Encuentra todos los enteros positivos $a$ y $b$ tales que \[ {a^2+b\over b^2-a}\quad\mbox{y}\quad{b^2+a\over a^2-b} \] son ambos enteros.

Sean $D$ y $E$ los puntos medios de los lados $[AB]$ y $[AC]$ del triángulo $ABC$. El círculo de diámetro $[AB]$ interseca la línea $DE$ en el lado opuesto de $AB$ que $C$, en $X$. El círculo de diámetro $[AC]$ interseca $DE$ en el lado opuesto de $AC$ que $B$ en $Y$. Sea $T$ la intersección de $BX$ y $CY$. Demuestra que el ortocentro del triángulo $XY T$ está en $BC$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero con $\angle A + \angle C = 60^o$. Si $AB \cdot CD = BC \cdot AD$, demuestra que $AB \cdot CD = AC \cdot BD$.

Considera seis puntos en el interior de un cuadrado de lado $3$. Demuestra que entre los seis puntos, hay dos cuya distancia es menor que $2$.

Sean $x, y, z > 0$ números reales tales que $xyz + xy + yz + zx = 4$. Demuestra que $x + y + z \ge 3$.

Sea un grupo finito $ G $ que tiene un elemento $ a\neq 1 $ para el cual existe un número primo $ p $ tal que $ x^{1+p}=a^{-1}xa, $ para todo $ x\in G. $ a) Demuestra que el orden de $ G $ es una potencia de $ p. $ b) Muestra que $ H:=\{x\in G|\text{ord} (x)=p\}\le G $ y $ \text{ord}^2(H)>\text{ord}(G). $