Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $O$ su circuncentro. Ahora, sea el diámetro $PQ$ del círculo $ABC$ que interseca los lados $AB$ y $AC$ en su interior en $D$ y $E$, respectivamente. Ahora, sean $F$ y $G$ los puntos medios de $CD$ y $BE$. Demuestra que $\angle FOG=\angle BAC$

Resuelve, en los enteros positivos, la ecuación $5^m + n^2 = 3^p$.

Sea n un entero positivo y $x_1, x_2, ..., x_n > 0$ números reales tales que $x_1 + x_2 +... + x_n =\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+...+\frac{1}{x_n^2}$ Muestra que para cada entero positivo $k \le n$, hay $k$ números entre $x_1, x_2, ..., x_n $ cuya suma es al menos $k$.

En un círculo, considera dos cuerdas $[AB], [CD]$ que se intersecan en $E$, las líneas $AC$ y $BD$ se encuentran en $F$. Sea $G$ la proyección de $E$ sobre $AC$. Denotamos por $M,N,K$ los puntos medios de las líneas del segmento $[EF] ,[EA]$ y $[AD]$, respectivamente. Demuestra que los puntos $M, N,K,G$ son concíclicos.

Sea $n \ge 5$ un entero. Demuestra que $n$ es primo si y sólo si para cualquier representación de $n$ como una suma de cuatro enteros positivos $n = a + b + c + d$, es cierto que $ab \ne cd$.

Sean $x_1, x_2 \ldots , x_5$ números reales. Encuentra el menor entero positivo $n$ con la siguiente propiedad: si algunas $n$ sumas distintas de la forma $x_p+x_q+x_r$ (con $1\le p<q<r\le 5$ ) son iguales a $0$, entonces $x_1=x_2=\cdots=x_5=0$.

Llamamos a un entero positivo compuesto $n$ 'agradable' si es posible ordenar sus factores que son mayores que $1$ en un círculo tal que dos números vecinos no son coprimos. ¿Cuántos de los elementos del conjunto $\{1, 2, 3, ..., 100\}$ son 'agradables'?

En el triángulo acutángulo $ABC$, con $AB \ne BC$, sea $T$ el punto medio del lado $[AC], A_1$ y $C_1$ denotan los pies de las altitudes dibujadas desde $A$ y $C$, respectivamente. Sea $Z$ el punto de intersección de las tangentes en $A$ y $C$ al circuncírculo del triángulo $ABC, X$ el punto de intersección de las líneas $ZA$ y $A_1C_1$ e $Y$ el punto de intersección de las líneas $ZC$ y $A_1C_1$.\na) Demuestra que $T$ es el incentro del triángulo $XYZ$.\nb) Los circuncírculos de los triángulos $ABC$ y $A_1BC_1$ se encuentran de nuevo en $D$. Demuestra que el ortocentro $H$ del triángulo $ABC$ está en la línea $TD$.\nc) Demuestra que el punto $D$ está en el circuncírculo del triángulo $XYZ$.

Considera dos enteros $n \ge m \ge 4$ y $A = \{a_1, a_2, ..., a_m\}$ un subconjunto del conjunto $\{1, 2, ..., n\}$ tal que: para todo $a, b \in A, a \ne b$, si $a + b \le n$, entonces $a + b \in A$. Demuestra que $\frac{a_1 + a_2 + ... + a_m}{m} \ge \frac{n + 1}{2}$.

Determina los números primos $p$ y $q$ que satisfacen la igualdad: $p^3 + 107 = 2q (17q + 24)$.