El punto $P$ se encuentra dentro del paralelogramo $ABCD$ . Las líneas perpendiculares a $PA,PB,PC$ y $PD$ que pasan por $A,B,C$ y $D$ construyen un cuadrilátero convexo $XYZT$ . Pruebe que $S_{XYZT}\geq 2S_{ABCD}$ .

$a, a_1,a_2,\dots ,a_n$ son números naturales. Sabemos que para cualquier número natural $k$ para el cual $ak+1$ es un cuadrado, al menos uno de $a_1k+1,\dots ,a_n k+1$ también es un cuadrado. Pruebe que $a$ es uno de $a_1,\dots ,a_n$

Una tabla que consta de $5$ columnas y $32$ filas, que se llenan con números cero y uno, es 'variada', si no hay dos líneas que se llenen de la misma manera. En el exterior de un cilindro, se construye una tabla con $32$ filas y $16$ columnas. ¿Es posible llenar las celdas numéricas de la tabla con números cero y uno, de tal manera que cada cinco columnas consecutivas, la tabla de $32\times5$ creada por estas columnas, sea variada?

Sea $X \neq \varnothing$ un conjunto finito y sea $f: X \to X$ una función tal que para cada $x \in X$ y un primo fijo $p$ tenemos $f^p(x)=x.$ Sea $Y=\{x \in X | f(x) \neq x\}.$ Demostrar que el número de miembros del conjunto $Y$ es divisible por $p.$ Nota. ${f^p(x)=x = \underbrace{f(f(f(\cdots ((f}_{ p \text{ veces}}(x) ) \cdots )))} .$

En el triángulo $ABC,$ tenemos $\angle A \leq 90^\circ$ y $\angle B = 2 \angle C.$ La bisectriz interior del ángulo $C$ se encuentra con la mediana $AM$ en $D.$ Demostrar que $\angle MDC \leq 45^\circ.$ ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Demostrar que para cualquier entero positivo $t,$ \n\[1+2^t+3^t+\cdots+9^t - 3(1 + 6^t +8^t )\]\nes divisible por $18.$

Hay algunas ciudades en ambos lados de un río y hay algunos canales de navegación entre las ciudades. Cada canal de navegación conecta exactamente una ciudad de un lado del río con una ciudad del otro lado. Cada ciudad tiene exactamente $k$ canales de navegación. Para cada dos ciudades, hay un camino que las conecta. Demostrar que si eliminamos cualquier (solo uno) canal de navegación, entonces nuevamente para cada dos ciudades, hay un camino que las conecta. $( k \geq 2)$

En la secuencia $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ tenemos $a_0=1$ , $a_1=2$ y\n\[a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_{n-1}}{1+a_{n-1}^2} \qquad \forall n \geq 1\]\nDemostrar que\n\[52 < a_{1371} < 65\]

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle A=90^\circ$. Las bisectrices de los ángulos $B$ y $C$ se intersecan en $I$ e intersecan los lados $AC$ y $AB$ en $D$ y $E$, respectivamente. Demostrar que $S_{BCDE}=2S_{BIC},$ donde $S$ es la función de área.

¿Es posible organizar 1400 enteros positivos (no necesariamente distintos), al menos uno de ellos siendo 2021, alrededor de un círculo de tal manera que cualquier número en este círculo sea igual a la suma del máximo común divisor de los dos números anteriores y los dos números siguientes? Por ejemplo, si $a, b, c, d, e$ son cinco números consecutivos en este círculo, $c = \gcd(a, b) + \gcd(d, e)$