Sea $a$ un entero positivo tal que el número $a^n$ tiene un número impar de dígitos en la representación decimal para todo $n > 0$ . Demuestra que el número $a$ es una potencia par de $10$ .

Suponga que $ABCD$ y $AEFG$ son rectángulos tales que los puntos $B,E,D,G$ son colineales (en este orden). Sean las líneas $BC$ y $GF$ se intersecan en el punto $T$ y sean las líneas $DC$ y $EF$ se intersecan en el punto $H$ . Demuestra que los puntos $A, H$ y $T$ son colineales.

Sea $E$ el punto medio del lado $CD$ de un cuadrado $ABCD$ . Considera el punto $M$ dentro del cuadrado tal que $\angle MAB = \angle MBC = \angle BME = x$ . Encuentra el ángulo $x$ .

Cinco números reales de valores absolutos no mayores que $1$ y que tienen la suma igual a $1$ están escritos en la circunferencia de un círculo. Demuestra que se pueden elegir tres números dispuestos consecutivamente $a, b, c$ , tales que todas las sumas $a + b,b + c$ y $a + b + c$ sean no negativas.

Dos círculos $C_1(O_1)$ y $C_2(O_2)$ con radios distintos se encuentran en los puntos $A$ y $B$ . La tangente desde $A$ a $C_1$ interseca la tangente desde $B$ a $C_2$ en el punto $M$ . Muestra que ambos círculos se ven desde $M$ bajo el mismo ángulo.

Muestra que se pueden colorear todos los puntos de un plano usando solo dos colores de tal manera que ningún segmento de línea tenga todos los puntos del mismo color.

Sea $n$ un entero positivo. Demuestra que no existen enteros positivos $x$ e $y$ tales que $\sqrt{n}+\sqrt{n+1} < \sqrt{x}+\sqrt{y} <\sqrt{4n+2} $

Considera los números primos $n_1< n_2 <...< n_{31}$ . Demuestra que si $30$ divide a $n_1^4 + n_2^4+...+n_{31}^4$ , entonces entre estos números se pueden encontrar tres primos consecutivos.

Considera un rombo $ABCD$ con centro $O$ . Se da un punto $P$ dentro del rombo, pero no situado en las diagonales. Sean $M,N,Q,R$ las proyecciones de $P$ en los lados $(AB), (BC), (CD), (DA)$ , respectivamente. Las bisectrices perpendiculares de los segmentos $MN$ y $RQ$ se encuentran en $S$ y las bisectrices perpendiculares de los segmentos $NQ$ y $MR$ se encuentran en $T$ . Demuestra que $P, S, T$ y $O$ son los vértices de un rectángulo.

En cada lado de un triángulo equilátero de lado $n \ge 1$ considera $n - 1$ puntos que dividen los lados en $n$ segmentos iguales. A través de estos puntos dibuja líneas paralelas a los lados de los triángulos, obteniendo una red de triángulos equiláteros de longitud de lado $1$. En cada uno de los vértices de los triángulos pequeños pon una moneda cara arriba. Un movimiento consiste en voltear tres monedas mutuamente adyacentes. Encuentra todos los valores de $n$ para los cuales es posible voltear todas las monedas cara abajo después de un número finito de movimientos.