Encuentre todos los polinomios $P(x,y)$ con coeficientes reales tales que para todos los números reales $x,y$ y $z$ : $$P(x,2yz)+P(y,2zx)+P(z,2xy)=P(x+y+z,xy+yz+zx).$$

Para cualquier entero positivo $n$ , defina el subconjunto $S_n$ de números naturales como sigue $$ S_n = \left\{x^2+ny^2 : x,y \in \mathbb{Z} \right\}.$$ Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que exista un elemento de $S_n$ que no pertenezca a ninguno de los conjuntos $S_1, S_2,\dots,S_{n-1}$ .

Sea $P$ un polígono simple completamente en $C$ , un círculo con radio $1$ , tal que $P$ no pasa por el centro de $C$ . El perímetro de $P$ es $36$ . Pruebe que hay un radio de $C$ que interseca a $P$ al menos $6$ veces, o hay un círculo que es concéntrico con $C$ y tiene al menos $6$ puntos en común con $P$ .

Sea $1<t<2$ un número real. Pruebe que para todos los enteros positivos suficientemente grandes como $d$ , existe un polinomio mónico $P(x)$ de grado $d$ , tal que todos sus coeficientes son $+1$ o $-1$ y $$\left|P(t)-2019\right| <1.$$

Se dan números $m$ y $n$ enteros positivos. Hay $mn$ personas en una fiesta, de pie en forma de una cuadrícula de $m\times n$. Algunas de estas personas son oficiales de policía y el resto son invitados. Algunos de los invitados pueden ser criminales. El objetivo es determinar si hay un criminal entre los invitados o no. Se considera que dos personas son \textit{adyacentes} si tienen un lado común. Cualquier oficial de policía puede ver a sus personas adyacentes y, para cada uno de ellos, saber si son criminales o no. Por otro lado, cualquier criminal amenazará exactamente a una de sus personas adyacentes (¡que probablemente sea un oficial!) con asesinar. Un oficial amenazado estará demasiado asustado, por lo que negará la existencia de cualquier criminal entre sus personas adyacentes. Encuentre el menor número posible de oficiales de tal manera que puedan tomar posición en la fiesta, de una manera que el objetivo sea alcanzable. (Tenga en cuenta que el número de criminales es desconocido y es posible que haya cero criminales).

En un triángulo $ABC$ , $\angle A$ es $60^\circ$ . En los lados $AB$ y $AC$ hacemos dos triángulos equiláteros (fuera del triángulo $ABC$ ) $ABK$ y $ACL$ . $CK$ y $AB$ se intersecan en $S$ , $AC$ y $BL$ se intersecan en $R$ , $BL$ y $CK$ se intersecan en $T$ . Pruebe que el centro radical de la circunferencia circunscrita de los triángulos $BSK, CLR$ y $BTC$ está en la mediana del vértice $A$ en el triángulo $ABC$ .

$S$ es un subconjunto de números naturales que tiene infinitos miembros. $$S'=\left\{x^y+y^x: \, x,y\in S, \, x\neq y\right\}$$ Pruebe que el conjunto de divisores primos de $S'$ también tiene infinitos miembros.

$\lbrace a_{n}\rbrace _{n\geq 0}$ y $\lbrace b_{n}\rbrace _{n\geq 0}$ son dos secuencias de enteros positivos tal que $a_{i},b_{i}\in \lbrace 0,1,2,\cdots,9\rbrace$ . Existe un número entero $M$ tal que $a_{n},b_{n}\neq 0$ para todo $n\geq M$ y para cada $n\geq 0$ $$(\overline{a_{n}\cdots a_{1}a_{0}})^{2}+999 \mid(\overline{b_{n}\cdots b_{1}b_{0}})^{2}+999 $$ pruebe que $a_{n}=b_{n}$ para $n\geq 0$ . (Tenga en cuenta que $(\overline{x_nx_{n-1}\dots x_0}) = 10^n\times x_n + \dots + 10\times x_1 + x_0$ . )

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tales que para todo $x,y\in \mathbb{R}$ : $$f\left(f(x)^2-y^2\right)^2+f(2xy)^2=f\left(x^2+y^2\right)^2$$

Considere el triángulo $ABC$ con ortocentro $H$ . Sean los puntos $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $BC$ y $AH$ . El punto $D$ se encuentra en la línea $MH$ de modo que $AD\parallel BC$ y el punto $K$ se encuentra en la línea $AH$ de modo que $DNMK$ es cíclico. Los puntos $E$ y $F$ se encuentran en las líneas $AC$ y $AB$ tales que $\angle EHM=\angle C$ y $\angle FHM=\angle B$ . Pruebe que los puntos $D,E,F$ y $K$ se encuentran en un círculo.