Consideremos un triángulo $ABC$. Los puntos $D,E$ están en los lados $AB,AC$ tales que $BDEC$ es un cuadrilátero cíclico. Sea $P$ la intersección de $BE$ y $CD$. $H$ es un punto en $AC$ tal que $\angle PHA = 90^{\circ}$. Sean $M,N$ los puntos medios de $AP,BC$. Demuestra que: $ ACD \sim MNH $.

Hay una computadora especial y tiene una memoria. Al principio, su memoria solo contiene $x$. Llenamos la memoria con las siguientes reglas. 1) Si $f\neq 0$ está en la memoria, entonces también podemos poner $\frac{1}{f}$ en ella. 2) Si $f,g$ están en la memoria, entonces también podemos poner $ f+g$ y $f-g$ en ella. Encuentra todos los números naturales $n$ tales que podamos tener $x^n$ en la memoria.

Consideremos un pastel con forma de círculo. Ha sido dividido en algunas partes desiguales por sus radios. Arash y Bahram quieren comer este pastel. Al principio, Arash toma una de las partes. En los siguientes pasos, recogen consecutivamente una pieza adyacente a otra pieza previamente removida. Supongamos que el pastel ha sido dividido en 5 partes. Demuestra que Arash puede elegir sus piezas de tal manera que al menos la mitad del pastel sea suyo.

Suponga que tenemos un polígono simple (es decir, no se interseca a sí mismo, pero no necesariamente convexo). Demuestre que este polígono tiene un diámetro que está completamente dentro del polígono y los dos arcos que crea en el perímetro del polígono (los dos arcos tienen 2 vértices en común) ambos tienen al menos un tercio de los vértices del polígono.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Suponga que $D,E,F$ son los pies de las líneas perpendiculares desde $A,B,C$ a $BC,CA,AB$. Sean $P,Q,R$ los pies de las líneas perpendiculares desde $A,B,C$ a $EF,FD,DE$. Pruebe que \[ 2(PQ+QR+RP)\geq DE+EF+FD \]

Sea $n$ un número natural fijo. Encuentre todas las $n$ tuplas de números naturales, pares distintos y coprimos como $a_1,a_2,\ldots,a_n$ tales que para $1\leq i\leq n$ tenemos \[ a_1+a_2+\ldots+a_n|a_1^i+a_2^i+\ldots+a_n^i \]

Sean $l,m$ dos líneas paralelas en el plano. Sea $P$ un punto fijo entre ellas. Sean $E,F$ puntos variables en $l,m$ tales que el ángulo $EPF$ esté fijado a un número como $\alpha$ donde $0<\alpha<\frac{\pi}2$. (Por ángulo $EPF$ nos referimos al ángulo dirigido) Demuestre que hay otro punto (no $P$) tal que ve el segmento $EF$ con un ángulo fijo también.

Sea $n$ un número natural fijo. a) Encuentre todas las soluciones a la siguiente ecuación: \[ \sum_{k=1}^n [\frac x{2^k}]=x-1 \] b) Encuentre el número de soluciones a la siguiente ecuación ( $m$ es un natural fijo): \[ \sum_{k=1}^n [\frac x{2^k}]=x-m \]

Tenemos $n$ puntos en el plano, no tres en una línea. Llamamos $k$ de ellos buenos si forman un polígono convexo y no hay otro punto en el polígono convexo. Suponga que para un $k$ fijo el número de $k$ puntos buenos es $c_k$. Demuestre que la siguiente suma es independiente de la estructura de los puntos y solo depende de $n$: \[ \sum_{i=3}^n (-1)^i c_i \]

Sea $G$ un torneo tal que sus aristas están coloreadas ya sea de rojo o de azul. Pruebe que existe un vértice de $G$ como $v$ con la propiedad de que, para todo otro vértice $u$ hay un camino dirigido monocolor desde $v$ hasta $u$.