Demuestre que para todos los enteros positivos $n,m$ , con $m$ impar, el siguiente número es un entero \[ \frac 1{3^mn}\sum^m_{k=0} { 3m \choose 3k } (3n-1)^k. \]

Sea $n\geq 2$ un entero positivo, y $X$ un conjunto con $n$ elementos. Sean $A_{1},A_{2},\ldots,A_{101}$ subconjuntos de $X$ tales que la unión de cualquiera de $50$ de ellos tiene más de $\frac{50}{51}n$ elementos. Demuestre que entre estos $101$ subconjuntos existen $3$ subconjuntos tales que dos de ellos cualesquiera tienen un elemento en común.

Sea $\Gamma$ un círculo, y sea $ABCD$ un cuadrado que se encuentra dentro del círculo $\Gamma$ . Sea $\mathcal{C}_a$ un círculo tangente interiormente a $\Gamma$ , y también tangente a los lados $AB$ y $AD$ del cuadrado, y también que se encuentra dentro del ángulo opuesto de $\angle BAD$ . Sea $A'$ el punto de tangencia de los dos círculos. Defina de manera similar los círculos $\mathcal{C}_b$ , $\mathcal{C}_c$ , $\mathcal{C}_d$ y los puntos $B',C',D'$ respectivamente. Demuestre que las líneas $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ y $DD'$ son concurrentes.

Sean $a,b,c$ 3 enteros, $b$ impar, y defina la secuencia $\{x_n\}_{n\geq 0}$ por $x_0=4$ , $x_1=0$ , $x_2=2c$ , $x_3=3b$ y para todos los enteros positivos $n$ tenemos \[ x_{n+3} = ax_{n-1}+bx_n + cx_{n+1} . \] Demuestre que para todos los enteros positivos $m$ , y para todos los primos $p$ el número $x_{p^m}$ es divisible por $p$ .

Sean $a,b$ dos enteros positivos, tales que $ab\neq 1$ . Encuentre todos los valores enteros que $f(a,b)$ puede tomar, donde \[ f(a,b) = \frac { a^2+ab+b^2} { ab- 1} . \]

Un disco circular se divide en $ 2n$ sectores iguales mediante $ n$ líneas rectas que pasan por su centro. Luego, estos $ 2n$ sectores se colorean de tal manera que exactamente $ n$ de los sectores se colorean de azul, y los otros $ n$ sectores se colorean de rojo. Numeramos los sectores rojos con números del $ 1$ al $ n$ en sentido antihorario (comenzando en algunos de estos sectores rojos), y luego numeramos los sectores azules con números del $ 1$ al $ n$ en sentido horario (comenzando en algunos de estos sectores azules). Demuestre que se puede encontrar un medio disco que contenga sectores numerados con todos los números del $ 1$ al $ n$ (en algún orden). (En otras palabras, demuestre que se pueden encontrar $ n$ sectores consecutivos que estén numerados con todos los números $ 1$ , $ 2$ , ..., $ n$ en algún orden.) Problema 8 de CWMO 2007 $ n$ bolas blancas y $ n$ negras se colocan al azar en la circunferencia de un círculo. Comenzando desde una cierta bola blanca, numeramos todas las bolas blancas en el sentido de las agujas del reloj por $ 1,2,\dots,n$ . Del mismo modo, numeramos todas las bolas negras por $ 1,2,\dots,n$ en sentido antihorario comenzando desde una cierta bola negra. Demuestre que existe una cadena de $ n$ bolas cuya colección de numeración forma el conjunto $ \{1,2,3\dots,n\}$ .

Sea $D$ un disco cerrado en el plano complejo. Demuestre que para todos los enteros positivos $n$ , y para todos los números complejos $z_1,z_2,\ldots,z_n\in D$ existe un $z\in D$ tal que $z^n = z_1\cdot z_2\cdots z_n$ .

Encuentre todas las aplicaciones biyectivas $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tales que para todos los enteros positivos $n$ se cumple la siguiente relación: \[ f(f(n)) \leq \frac {n+f(n)} 2 . \]

Sea $\{R_i\}_{1\leq i\leq n}$ una familia de superficies rectangulares cerradas disjuntas con un área total de 4 tal que sus proyecciones del eje $Ox$ es un intervalo. Demuestre que existe un triángulo con vértices en $\displaystyle \bigcup_{i=1}^n R_i$ que tiene un área de al menos 1.

Sean $a_1,a_2,a_3,a_4$ los lados de un cuadrilátero arbitrario de perímetro $2s$. Demuestre que \[ \sum\limits^4_{i=1} \dfrac 1{a_i+s} \leq \dfrac 29\sum\limits_{1\leq i<j\leq 4} \dfrac 1{ \sqrt { (s-a_i)(s-a_j)}}. \] ¿Cuándo se cumple la igualdad?