Sea $ABC$ un triángulo tal que el radio de su circunferencia circunscrita es igual al radio de la circunferencia exinscrita con respecto a $A$. Suponga que la circunferencia exinscrita con respecto a $A$ toca a $BC,AC,AB$ en $M,N,L$. Pruebe que $O$ (Centro de la circunferencia circunscrita) es el ortocentro de $MNL$.

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales. Pruebe que \[ \sum_{i,j=1}^n |x_i+x_j|\geq n\sum_{i=1}^n |x_i| \]

Suponga que $ABC$ es un triángulo con $M$ el punto medio de $BC$. Suponga que $AM$ interseca la circunferencia inscrita en $K,L$. Dibujamos una línea paralela desde $K$ y $L$ a $BC$ y nombramos su segundo punto de intersección con la circunferencia inscrita $X$ y $Y$. Suponga que $AX$ y $AY$ intersecan a $BC$ en $P$ y $Q$. Pruebe que $BP=CQ$.

Suponga que hay $n$ monedas disponibles cuya masa es desconocida. Tenemos un par de balanzas y cada vez podemos elegir un número par de monedas y poner la mitad de ellas en un lado de la balanza y la otra mitad en el otro lado, por lo tanto, se hará una comparación. Nuestro objetivo es determinar si la masa de todas las monedas es igual o no. Demuestre que se requieren al menos $n-1$ comparaciones.

Suponga que $p$ es un número primo. Encuentre todos los números naturales $n$ tales que $p|\varphi(n)$ y para todo $a$ tal que $(a,n)=1$ tenemos \[ n|a^{\frac{\varphi(n)}{p}}-1 \]

$x,y$ y $z$ son números reales tales que $x+y+z=xy+yz+zx$ . Pruebe que $$\frac{x}{\sqrt{x^4+x^2+1}}+\frac{y}{\sqrt{y^4+y^2+1}}+\frac{z}{\sqrt{z^4+z^2+1}}\geq \frac{-1}{\sqrt{3}}.$$

Se elige un subgráfico de un gráfico completo con $n$ vértices de tal manera que el número de sus aristas sea un múltiplo de $3$ y el grado de cada vértice sea un número par. Pruebe que podemos asignar un peso a cada triángulo del gráfico de tal manera que para cada arista del subgráfico elegido, la suma del peso de los triángulos que contienen esa arista sea igual a uno, y para cada arista que no está en el subgráfico, esta suma sea igual a cero.

Dado un triángulo acutángulo $ABC$ con ortocentro $H$ . La reflexión del círculo de los nueve puntos sobre $AH$ interseca a la circunferencia circunscrita en los puntos $X$ e $Y$ . Pruebe que $AH$ es la bisectriz externa de $\angle XHY$ .

En el triángulo $ABC$ , $M,N$ y $P$ son los puntos medios de los lados $BC,CA$ y $AB$ . El punto $K$ se encuentra en el segmento $NP$ de modo que $AK$ biseca $\angle BKC$ . Las líneas $MN,BK$ se intersecan en $E$ y las líneas $MP,CK$ se intersecan en $F$ . Suponga que $H$ es el pie de la línea perpendicular de $A$ a $BC$ y $L$ la segunda intersección de la circunferencia circunscrita de los triángulos $AKH, HEF$ . Pruebe que $MK,EF$ y $HL$ son concurrentes.

Hesam eligió $10$ enteros positivos distintos y le dio todos los $\gcd$ 's y $\text{lcm}$ 's por pares (un total de $90$ números) a Masoud. ¿Puede Masoud siempre encontrar los primeros $10$ números, solo conociendo estos $90$ números?