Considera el número $n=123456789101112\ldots 99100101$.\na) Encuentra los tres primeros dígitos del número $\sqrt{n}$.\nb) Calcula la suma de los dígitos de $n$.\nc) Demuestra que $\sqrt{n}$ no es racional.

Un entero positivo se llama bueno si se puede escribir como la suma de dos enteros positivos consecutivos y como la suma de tres enteros positivos consecutivos. Demostrar que:\na) 2001 es bueno, pero 3001 no es bueno.\nb) El producto de dos números buenos es un número bueno.\nc) Si el producto de dos números es bueno, entonces al menos uno de los números es bueno.

Sea $p$ un número primo y $f\in \mathbb{Z}[X]$ dado por \[ f(x) = a_{p-1}x^{p-2} + a_{p-2}x^{p-3} + \cdots + a_2x+ a_1 , \] donde $a_i = \left( \tfrac ip\right)$ es el símbolo de Legendre de $i$ con respecto a $p$ (i.e. $a_i=1$ si $ i^{\frac {p-1}2} \equiv 1 \pmod p$ y $a_i=-1$ en caso contrario, para todo $i=1,2,\ldots,p-1$ ) . a) Demuestre que $f(x)$ es divisible con $(x-1)$ , pero no con $(x-1)^2$ si y sólo si $p \equiv 3 \pmod 4$ ; b) Demuestre que si $p\equiv 5 \pmod 8$ entonces $f(x)$ es divisible con $(x-1)^2$ pero no con $(x-1)^3$ .

En una mesa de ajedrez $n\times m$ llamamos movimiento a la siguiente sucesión de operaciones (i) elegir algunos cuadrados sin marcar, dos cualesquiera que no estén en la misma fila o columna; (ii) marcarlos con 1; (iii) marcar con 0 todos los cuadrados sin marcar que estén en la misma línea y columna con un cuadrado marcado con el número 1 (incluso si el cuadrado ha sido marcado con 1 en otro movimiento). Llamamos juego a una sucesión de movimientos que terminan en el momento en que no podemos hacer más movimientos. ¿Cuál es la suma máxima posible de los números en la tabla al final de un juego?

Tres círculos $\mathcal{K}_1$ , $\mathcal{K}_2$ , $\mathcal{K}_3$ de radios $R_1,R_2,R_3$ respectivamente, pasan por el punto $O$ e intersecan dos por dos en $A,B,C$ . El punto $O$ se encuentra dentro del triángulo $ABC$ . Sean $A_1,B_1,C_1$ los puntos de intersección de las líneas $AO,BO,CO$ con los lados $BC,CA,AB$ del triángulo $ABC$ . Sean $ \alpha = \frac {OA_1}{AA_1} $ , $ \beta= \frac {OB_1}{BB_1} $ y $ \gamma = \frac {OC_1}{CC_1} $ y sea $R$ el circunradio del triángulo $ABC$ . Demuestre que \[ \alpha R_1 + \beta R_2 + \gamma R_3 \geq R. \]

Algunas de las $n$ caras de un poliedro se colorean de negro de tal manera que dos caras de color negro cualesquiera no tienen un vértice común. El resto de las caras del poliedro se colorean de blanco. Demuestre que el número de lados comunes de dos caras de color blanco del poliedro es al menos $n-2$ .

Sea $O$ un punto en el plano del triángulo $ABC$ . Un círculo $\mathcal{C}$ que pasa por $O$ interseca la segunda vez las líneas $OA,OB,OC$ en $P,Q,R$ respectivamente. El círculo $\mathcal{C}$ también interseca por segunda vez los circuncírculos de los triángulos $BOC$ , $COA$ y $AOB$ respectivamente en $K,L,M$ . Demuestre que las líneas $PK,QL$ y $RM$ son concurrentes.

Sea $m\geq 2$ un entero. Un entero positivo $n$ tiene la propiedad de que para cualquier entero positivo $a$ coprimo con $n$ , tenemos $a^m - 1\equiv 0 \pmod n$ . Demuestre que $n \leq 4m(2^m-1)$ .

Sea $n\geq 2$ un entero y sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales. Demuestre que para cualquier subconjunto no vacío $S\subset \{1,2,3,\ldots, n\}$ tenemos \[ \left( \sum_{i \in S} a_i \right)^2 \leq \sum_{1\leq i \leq j \leq n } (a_i + \cdots + a_j ) ^2 . \]

Sea $I$ el incentro del triángulo no isósceles $ABC$ y sean $A',B',C'$ los puntos de tangencia del incírculo con los lados $BC,CA,AB$ respectivamente. Las líneas $AA'$ y $BB'$ se intersecan en $P$ , las líneas $AC$ y $A'C'$ en $M$ y las líneas $B'C'$ y $BC$ se intersecan en $N$ . Demuestre que las líneas $IP$ y $MN$ son perpendiculares. Formulación alternativa. El incírculo de un triángulo no isósceles $ABC$ tiene centro $I$ y toca los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ en $A^{\prime}$ , $B^{\prime}$ y $C^{\prime}$ , respectivamente. Las líneas $AA^{\prime}$ y $BB^{\prime}$ se intersecan en $P$ , las líneas $AC$ y $A^{\prime}C^{\prime}$ se intersecan en $M$ , y las líneas $BC$ y $B^{\prime}C^{\prime}$ se intersecan en $N$ . Demuestre que las líneas $IP$ y $MN$ son perpendiculares.