En el triángulo acutángulo $ABC$ , $BH$ es la altura del vértice $B$ . Los puntos $D$ y $E$ son los puntos medios de $AB$ y $AC$ respectivamente. Suponga que $F$ es la reflexión de $H$ con respecto a $ED$ . Demuestra que la línea $BF$ pasa por el circuncentro de $ABC$ .

Dado un círculo y puntos $P,B,A$ sobre él. El punto $Q$ es interior a este círculo tal que: $1)$ $\angle PAQ=90$ . $ 2)PQ=BQ$ . Demuestra que $\angle AQB - \angle PQA=\stackrel{\frown}{AB}$ .

¿Existen $6$ círculos en el plano tales que cada círculo pase por los centros de exactamente $3$ otros círculos?

En el rectángulo $ABCD$ , los puntos $M,N,P, Q$ están en $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ respectivamente tales que el área de los triángulos $AQM$ , $BMN$ , $CNP$ , $DPQ$ son iguales. Demuestra que el cuadrilátero $MNPQ$ es un paralelogramo.

En la figura de abajo, sabemos que $AB = CD$ y $BC = 2AD$ . Demuestra que $\angle BAD = 30^o$ . https://3.bp.blogspot.com/-IXi_8jSwzlU/W1R5IydV5uI/AAAAAAAAIzo/2sREnDEnLH8R9zmAZLCkVCGeMaeITX9YwCK4BGAYYCw/s400/IGO%2B2015.el3.png

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A = 60^o$ . Los puntos $M,N,K$ están en $BC,AC,AB$ respectivamente tales que $BK = KM = MN = NC$ . Si $AN = 2AK$ , encuentra los valores de $\angle B$ y $\angle C$ .

Tenemos cuatro triángulos de madera con lados de $3, 4, 5$ centímetros. ¿Cuántos polígonos convexos podemos hacer con todos estos triángulos? (Solo dibuja los polígonos sin ninguna prueba) Un polígono convexo es un polígono en el que todos sus ángulos son menores de $180^o$ y no tiene ningún agujero. Por ejemplo: //cdn.artofproblemsolving.com/images/7/5/4/7545261bf092f2c843dcb006847dda80e25acedc.png

Sea $n \ge 50 $ un número natural. Demuestra que $n$ es expresable como la suma de dos números naturales $n=x+y$, de modo que para cada número primo $p$ tal que $ p\mid x$ o $p\mid y $ tenemos $ \sqrt{n} \ge p $. Por ejemplo, para $n=94$ tenemos $x=80, y=14$.

Un círculo se divide en $2n$ partes iguales por $2n$ puntos. Ali dibuja $n+1$ arcos, de longitud $1,2,\ldots,n+1$. Demuestra que podemos encontrar dos arcos, tales que uno de ellos está dentro del otro.

En el cuadrilátero $ABCD$, $AC$ es bisectriz de $\hat{A}$ y $\widehat{ADC}=\widehat{ACB}$. $X$ e $Y$ son los pies de la perpendicular desde $A$ a $BC$ y $CD$, respectivamente. Demuestra que el ortocentro del triángulo $AXY$ está en $BD$.