Sea $K$ un campo conmutativo con $8$ elementos. Demuestra que $(\exists)a\in K$ tal que $a^3=a+1$.

Para cualquier $n\in \mathbb{N}^*$, sea $H_n=\left\{\frac{k}{n!}\ |\ k\in \mathbb{Z}\right\}$.\na) Demuestra que $H_n$ es un subgrupo del grupo $(Q,+)$ y que $Q=\bigcup_{n\in \mathbb{N}^*} H_n$ ;\nb) Demuestra que si $G_1,G_2,\ldots, G_m$ son subgrupos del grupo $(Q,+)$ y $G_i\neq Q,\ (\forall) 1\le i\le m$, entonces $G_1\cup G_2\cup \ldots \cup G_m\neq Q$

Demuestra que:\na) la secuencia $a_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{n+n},\ n\ge 1$ es monótona.\nb) existe una secuencia $(a_n)_{n\ge 1}\in \{0,1\}$ tal que: \[\lim_{n\to \infty} \left(\frac{a_1}{n+1}+\frac{a_2}{n+2}+\ldots +\frac{a_n}{n+n}\right)=\frac{1}{2}\]

Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función que transforma cualquier intervalo cerrado acotado en un intervalo cerrado acotado y cualquier intervalo abierto acotado en un intervalo abierto acotado. Demuestra que $f$ es continua.

Sea $n\in \mathbb{N},\ n\ge 2$. Para cualquier matriz $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, sea $m(A)$ el número de menores no nulos de $A$. Demuestra que:\na) $m(I_n)=2^n-1$ ;\nb) Si $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ es no singular, entonces $m(A)\ge 2^n-1$.

Sea $A\in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ tal que $\det(A)=d\neq 0$ y $\det(A+dA^*)=0$. Demuestra que $\det(A-dA^*)=4$.

Resuelve la ecuación: \[2^{\lg x}+8=(x-8)^{\frac{1}{\lg 2}}\] Nota: $\lg x=\log_{10}x$.

Considera un polígono inscriptible $ABCDE$. Sean $H_1,H_2,H_3,H_4,H_5$ los ortocentros de los triángulos $ABC,BCD,CDE,DEA,EAB$ y sean $M_1,M_2,M_3,M_4,M_5$ los puntos medios de $DE,EA,AB,BC$ y $CD$, respectivamente. Demuestra que las líneas $H_1M_1,H_2M_2,H_3M_3,H_4M_4,H_5M_5$ tienen un punto en común.

Dos números $(z_1,z_2)\in \mathbb{C}^*\times \mathbb{C}^*$ tienen la propiedad $(P)$ si existe un número real $a\in [-2,2]$ tal que $z_1^2-az_1z_2+z_2^2=0$. Demuestra que si $(z_1,z_2)$ tienen la propiedad $(P)$, entonces $(z_1^n,z_2^n)$ satisface esta propiedad, para cualquier entero positivo $n$.

Sea $(a_n)_{n\ge 1}$ una secuencia de números reales tal que \[a_1\binom{n}{1}+a_2\binom{n}{2}+\ldots+a_n\binom{n}{n}=2^{n-1}a_n,\ (\forall)n\in \mathbb{N}^*\] Demuestra que $(a_n)_{n\ge 1}$ es una progresión aritmética.