Sea ${I}$ el incentro del $\triangle {ABC}$ y ${BX}$ , ${CY}$ son sus dos bisectrices de ángulo. ${M}$ es el punto medio del arco $\overset{\frown}{BAC}$ . Se sabe que $MXIY$ son concíclicos. Demuestra que el área del cuadrilátero $MBIC$ es igual a la del pentágono $BXIYC$ .

Se da un triángulo acutángulo $ABC$ . La bisectriz del ángulo $\angle BAC$ corta a $BC$ en $P$ . Los puntos $D$ y $E$ se encuentran en los segmentos $AB$ y $AC$ , respectivamente, de modo que $BC \parallel DE$ . Los puntos $K$ y $L$ se encuentran en los segmentos $PD$ y $PE$ , respectivamente, de modo que los puntos $A$ , $D$ , $E$ , $K$ , $L$ son concíclicos. Demuestra que los puntos $B$ , $C$ , $K$ , $L$ también son concíclicos.

Hay $n$ puntos en el plano tales que al menos el $99\%$ de los cuadriláteros con vértices de estos puntos son convexos. ¿Podemos encontrar un polígono convexo en el plano que tenga al menos el $90\%$ de los puntos como vértices?

Sea $ABC$ un triángulo y $P$ el punto medio del arco $BAC$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ con ortocentro $H$ . Sean $Q, S$ puntos tales que $HAPQ$ y $SACQ$ son paralelogramos. Sea $T$ el punto medio de $AQ$ , y $R$ el punto de intersección de las líneas $SQ$ y $PB$ . Demuestra que $AB$ , $SH$ y $TR$ son concurrentes.

Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ con $\angle B = 3\angle C$ . La bisectriz interna del ángulo $\angle A$ , interseca a $\omega$ y $BC$ en $M$ y $D$ , respectivamente. El punto $E$ se encuentra en la extensión de la línea $MC$ desde $M$ tal que $ME$ es igual al radio de $\omega$ . Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ACE$ y $BDM$ son tangentes.

Se da un hexágono convexo $ABCDEF$ con un punto interior $P$ . Suponga que $BCEF$ es un cuadrado y tanto $ABP$ como $PCD$ son triángulos rectángulos isósceles con ángulos rectos en $B$ y $C$ , respectivamente. Las líneas $AF$ y $DE$ se intersecan en $G$ . Demuestra que $GP$ es perpendicular a $BC$ .

Los puntos $M$ y $N$ son los puntos medios de los lados $AB$ y $BC$ del cuadrado $ABCD$ . De acuerdo con la figura, hemos dibujado un hexágono regular y un $12$ - gono regular. Los puntos $P, Q$ y $R$ son los centros de estos tres polígonos. Demuestra que $PQRS$ es un cuadrilátero cíclico.\n\n[Image: https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/f/5/741be55c79c95b282f4831a040c5301281d0da.jpg]

Un polígono se descompone en triángulos trazando algunas diagonales interiores no intersecantes de tal manera que para cada par de triángulos de la triangulación que comparten un lado común, la suma de los ángulos opuestos a este lado común es mayor que $180^o$ . a) Demuestra que este polígono es convexo. b) Demuestra que la circunferencia circunscrita de cada triángulo utilizado en la descomposición contiene a todo el polígono.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Sea $E$ la intersección de sus diagonales. Suponga que $CD = BC = BE$ . Demuestra que $AD + DC\ge AB$ .

Sea $ABCD$ un cuadrado con lado de longitud $1$ . ¿Cuántos puntos $P$ dentro del cuadrado (no en sus lados) tienen la propiedad de que el cuadrado se puede cortar en $10$ triángulos de igual área de tal manera que todos tengan a $P$ como vértice?