Sea $ABCD$ un paralelogramo. Los puntos $E, F$ se encuentran en los lados $AB, CD$ respectivamente, tal que $\angle EDC = \angle FBC$ y $\angle ECD = \angle FAD$. Demuestra que $AB \geq 2BC$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB = AC$. Sea $H$ el ortocentro de $ABC$. El punto $E$ es el punto medio de $AC$ y el punto $D$ se encuentra en el lado $BC$ tal que $3CD = BC$. Demuestra que $BE \perp HD$.

Sean $A_1, A_2, . . . , A_{2021}$ 2021 puntos en el plano, no tres colineales y $$\n\angle A_1A_2A_3 + \angle A_2A_3A_4 +... + \angle A_{2021}A_1A_2 = 360^o,\n$$\nen el que por el ángulo $\angle A_{i-1}A_iA_{i+1}$ nos referimos al que es menor que $180^o$ (asumir que $A_{2022} =A_1$ y $A_0 = A_{2021}$ ) . Demostrar que algunos de estos ángulos sumarán $90^o$.

En el trapecio isósceles $ABCD$ ($AB \parallel CD$) los puntos $E$ y $F$ se encuentran en el segmento $CD$ de tal manera que $D, E, F$ y $C$ están en ese orden y $DE = CF$. Sean $X$ e $Y$ la reflexión de $E$ y $C$ con respecto a $AD$ y $AF$. Demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ADF$ y $BXY$ son concéntricas.

Como se muestra en la siguiente figura, un corazón es una figura que consta de tres semicírculos con diámetros $AB$, $BC$ y $AC$ de tal manera que $B$ es el punto medio del segmento $AC$. Se da un corazón $\omega$. Llamar a un par $(P, P')$ bisector si $P$ y $P'$ se encuentran en $\omega$ y bisecan su perímetro. Sean $(P, P')$ y $(Q,Q')$ pares bisectores. Las tangentes en los puntos $P, P', Q$ y $Q'$ a $\omega$ construyen un cuadrilátero convexo $XYZT$. Si el cuadrilátero $XYZT$ está inscrito en un círculo, encontrar el ángulo entre las líneas $PP'$ y $QQ'$.\n\nhttps://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/3/c/8216889594bbb504372d8cddfac73b9f56e74c.png

Los puntos $K, L, M, N$ se encuentran en los lados $AB, BC, CD, DA$ de un cuadrado $ABCD$, respectivamente, de tal manera que el área de $KLMN$ es igual a la mitad del área de $ABCD$. Demostrar que alguna diagonal de $KLMN$ es paralela a algún lado de $ABCD$.

Con la unión de las cuatro figuras dibujadas en la siguiente figura, construir una figura con al menos dos simetrías de reflexión.\n\nhttps://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/6/0/8ace983d3d9b5c7f93b03c505430e1d2d189fd.png

En el triángulo $ABC$ los puntos $M$ y $N$ son los puntos medios de los lados $AC$ y $AB$ , respectivamente y $D$ es la proyección de $A$ en $BC$ . El punto $O$ es el circuncentro de $ABC$ y las circunferencias circunscritas de $BOC$ , $DMN$ se intersecan en los puntos $R, T$ . Las líneas $DT$ , $DR$ intersecan la línea $MN$ en $E$ y $F$ , respectivamente. Las líneas $CT$ , $BR$ se intersecan en $K$ . Un punto $P$ se encuentra en $KD$ tal que $PK$ es la bisectriz del ángulo $\angle BPC$ . Demuestra que las circunferencias circunscritas de $ART$ y $PEF$ son tangentes.

Sea $ABC$ un triángulo con bisectrices $BE$ y $CF$ que se encuentran en $I$ . Sea $D$ la proyección de $I$ sobre $BC$ . Sean M y $N$ los ortocentros de los triángulos $AIF$ y $AIE$ , respectivamente. Las líneas $EM$ y $FN$ se encuentran en $P.$ Sea $X$ el punto medio de $BC$ . Sea $Y$ el punto que se encuentra en la línea $AD$ tal que $XY \perp IP$ . Demuestra que la línea $AI$ biseca el segmento $XY$ .

Hay varios discos cuyos radios no son mayores que $1$ , y cuyos centros se encuentran todos en un segmento con longitud ${l}$ . Demuestra que la unión de todos los discos tiene un perímetro que no excede $4l+8$ .