En un triángulo isósceles $ABC$ con $AB = AC$ y $\angle A = 30^o$ , los puntos $L$ y $M$ se encuentran en los lados $AB$ y $AC$ , respectivamente, de tal manera que $AL = CM$ . El punto $K$ se encuentra en $AB$ tal que $\angle AMK = 45^o$ . Si $\angle LMC = 75^o$ , demuestra que $KM +ML = BC$ .

Todos los polígonos en la figura de abajo son regulares. Demuestra que $ABCD$ es un trapecio isósceles.\n\n[Image: https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/e/a/3f4de32becf4a90bf0f0b002fb4d8e724e8844.png]

Tenemos un triángulo $ ABC $ y hacemos rectángulos $ ABA_1B_2 $ , $ BCB_1C_2 $ y $ CAC_1A_2 $ fuera de él. Luego pasa una línea por $ A_2 $ perpendicular a $ C_1A_2 $ y pasa otra línea por $ A_1 $ perpendicular a $ A_1B_2 $ . Sea $ A' $ el punto común de estas dos líneas. De esta manera hacemos $ B' $ y $ C' $ . Prueba que $ AA' $ , $ BB' $ y $ CC' $ se intersectan entre sí en un mismo punto.

En el triángulo $ABC$ , dibujamos el círculo con centro $A$ y radio $AB$ . Este círculo interseca a $AC$ en dos puntos. También dibujamos el círculo con centro $A$ y radio $AC$ y este círculo interseca a $AB$ en dos puntos. Denotamos estos cuatro puntos por $A_1, A_2, A_3, A_4$ . Encuentra los puntos $B_1, B_2, B_3, B_4$ y $C_1, C_2, C_3, C_4$ de manera similar. Supongamos que estos $12$ puntos están en dos círculos. Demuestra que el triángulo $ABC$ es isósceles.

Sea $ H $ el ortocentro del triángulo $ ABC $ Pasa dos líneas $ l_1 $ y $ l_2 $ por $ H $ tal que $ l_1 \bot l_2 $ Tenemos $ l_1 \cap BC = D $ y $ l_1 \cap AB = Z $ También $ l_2 \cap BC = E $ y $ l_2 \cap AC = X $ como en esta imagen pasa una línea $ d_1$ por $ D $ paralela a $ AC $ y otra línea $ d_2 $ por $ E $ paralela a $ AB $ Sea $ d_1 \cap d_2 = Y $ prueba que $ X $ $ , $ $ Y $ y $ Z $ están en la misma línea

Sea $ ABC $ un triángulo equilátero con círculo circunscrito $ w $ Sea $ P $ un punto en el arco $ BC $ (el punto $ A $ está en el otro lado) pasa una línea tangente $ d $ por el punto $ P $ tal que $ P \cap AB = F $ y $ AC \cap d = L $ Sea $ O $ el centro del círculo $ w $ prueba que $ \angle LOF > 90^{0} $

Sean $ w_1 $ y $ w_2 $ dos círculos tales que $ w_1 \cap w_2 = \{ A , B \} $ Sea $ X $ un punto en $ w_2 $ e $ Y $ en $ w_1 $ tal que $ BY \bot BX $ Supongamos que $ O $ es el centro de $ w_1 $ y $ X' = w_2 \cap OX $ Ahora, si $ K = w_2 \cap X'Y $ prueba que $ X $ es el punto medio del arco $ AK $

a) ¿Existen 5 círculos en el plano tales que cada círculo pase por los centros de exactamente 3 círculos? b) ¿Existen 6 círculos en el plano tales que cada círculo pase por los centros de exactamente 3 círculos?

Same as P2 avanzados\nlet $ ABC $ an equilateral triangle with circum circle $ w $ let $ P $ a point on arc $ BC $ ( point $ A $ is on the other side ) pass a tangent line $ d $ through point $ P $ such that $ P \cap AB = F $ and $ AC \cap d = L $ let $ O $ the center of the circle $ w $ prove that $ \angle LOF > 90^{0} $

En el triángulo $ABC$ , $M,N,K$ son los puntos medios de los lados $BC,AC,AB$ , respectivamente. Construye dos semicírculos con diámetro $AB,AC$ fuera del triángulo $ABC$ . $MK,MN$ se intersectan con los semicírculos en $X,Y$ . Las tangentes a los semicírculos en $X,Y$ se intersectan en el punto $Z$ . Demuestra que $AZ \perp BC$ .