Sea $k$ un entero positivo, sean $z_1,z_2, \ldots, z_k \in \mathbb{C}$ distintos y sean $u_1,u_2,\ldots,u_k \in \mathbb{C}$ tales que el conjunto $\big\{a_n=u_1z_1^n+u_2z_2^n+\ldots+u_kz_k^n : n \in \mathbb{Z}_{>0} \big\}$ es finito. Demostrar que existe un entero positivo $p$ tal que $a_n=a_{n+p},$ para cualquier entero positivo $n.$

Sea $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ y $C(A)=\{B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C}) : AB=BA \}.$ Demostrar que $$|\det(A+B)| \ge |\det B|,$$ para cualquier $B \in C(A),$ si y solo si $A^2=O_2.$

a) Demostrar que si $x_1,x_2,\ldots,x_n,y_1,y_2,\ldots,y_n$ son números reales positivos que satisfacen las condiciones $x_1y_1<x_2y_2<\ldots<x_ny_n$ ; $x_1+x_2+\ldots+x_k \ge y_1+y_2+ \ldots +y_k,$ para $k=\overline{1,n},$ entonces $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_n} \le \frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}+\ldots+\frac{1}{y_n}.$$ \nb) Sea $A=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$ un conjunto de enteros positivos con la propiedad de que para cualquier subconjunto distinto $B$ y $C$ de $A$ tenemos $\sum_{x \in B} x \neq \sum_{x \in C} x.$ Demostrar que $$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}<2.$$

Sean $a,b,c \in \mathbb{C}$ y $a \neq 0$ . Las raíces $z_1$ y $z_2$ de la ecuación $az^2+bz+c=0$ satisfacen $|z_1|<1$ y $|z_2|<1$ . Demostrar que las raíces $z_3$ y $z_4$ de la ecuación $$(a+\overline{c})z^2+(b+\overline{b})z+\overline{a}+c=0$$ satisfacen $|z_3|=|z_4|=1$

En los lados $(AB)$ , $(BC)$ , $(CD)$ y $(DA)$ del tetraedro regular $ABCD$ , se consideran los puntos $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ , respectivamente Demostrar que $$MN \cdot NP \cdot PQ \cdot QM \ge AM \cdot BN \cdot CP \cdot DQ.$$

Resolver el sistema $$\begin{cases} \displaystyle 4^{-x}+27^{-y}= \frac{5}{6} \\ \displaystyle 27^y-4^x \le 1 \\ \displaystyle \log_{27}y-\log_4 x \ge \frac{1}{6} \end{cases}.$$

a) Sean $a,b\in R$ , $a <b$ . Demostrar que $x \in (a,b)$ si y solo si existe $\lambda \in (0,1)$ tal que $x=\lambda a +(1-\lambda)b$ .\nb) Si la función $f: R \to R$ tiene la propiedad: $$f (\lambda x+(1-\lambda) y) < \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y), \forall x,y \in R, x\ne y, \forall \lambda \in (0,1), $$ demostrar que no se pueden encontrar cuatro puntos en la gráfica de la función que sean los vértices de un paralelogramo

En el cuadrilátero convexo $ABCD$ , las bisectrices de los ángulos $A$ y $C$ se intersecan en $I$ . Demostrar que $ABCD$ es circunscriptible si y solo si $$S[AIB] + S[CID] =S[AID]+S[BIC]$$ ( $S[XYZ]$ denota el área del triángulo $XYZ$ )

Para $a, b > 0$ , denotamos por $t(a,b)$ la raíz positiva de la ecuación $$(a+b)x^2-2(ab-1)x-(a+b) = 0.$$ Sea $M = \{ (a.b) | \, a \ne b \,\,\, and \,\,\,t(a,b) \le \sqrt{ab} \}$ Determinar, para $(a, b)\in M$ , el valor mínimo de $t(a,b)$ .

Sea $AD$ la bisectriz del ángulo $A$ del triángulo $ABC$ . Se consideran los puntos M, N en las semirrectas $(AB$ y $(AC$ , respectivamente, tales que $\angle MDA = \angle B$ y $\angle NDA = \angle C$ . Sea $AD \cap MN=\{P\}$ . Demostrar que: $$AD^3 = AB \cdot AC\cdot AP$$