Encuentre el número natural más pequeño $n$ tal que existan $n$ números reales en el intervalo $(-1,1)$ tales que su suma sea igual a cero y la suma de sus cuadrados sea igual a $20$ .

Encuentre todas las sucesiones crecientes $a_1,a_2,a_3,...$ de números naturales tales que para cada $i,j\in \mathbb N$ , el número de divisores de $i+j$ y $a_i+a_j$ es igual. (una sucesión creciente es una sucesión que si $i\le j$ , entonces $a_i\le a_j$ . )

En el triángulo $ABC$ , tenemos $\angle ABC=60$ . La línea que pasa por $B$ perpendicular al lado $AB$ interseca la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ en $D$ y la línea que pasa por $C$ perpendicular a $BC$ interseca la bisectriz del ángulo $\angle ABC$ en $E$ . Demuestre que $\angle BED\le 30$ .

Tenemos una línea y $1390$ puntos alrededor de ella tales que la distancia de cada punto a la línea es menor que $1$ centímetro y la distancia entre dos puntos cualesquiera es mayor que $2$ centímetros. Demuestre que hay dos puntos tales que su distancia es al menos $10$ metros ( $1000$ centímetros).

Para todo $n>1$. Encontrar todos los polinomios con coeficientes complejos y grado mayor que uno, tales que $(p(x)-x)^2$ divide a $p^n(x)-x$. ( $p^0(x)=x , p^i(x)=p(p^{i-1}(x))$ )

Una tabla de $9\times 9$ está llena de ceros. En cada paso, podemos tomar una fila, agregar $1$ a cada celda y desplazarla una unidad a la derecha, o tomar una columna, reducir cada celda en $1$ y desplazarla una celda hacia abajo. ¿Se puede alcanzar la tabla con la esquina superior derecha $-1$ y la esquina inferior izquierda $+1$ y todas las demás celdas en cero?

En un trapecio $ABCD$ con $AD$ paralelo a $BC$, los puntos $E, F$ están en los lados $AB, CD$ respectivamente. $A_1, C_1$ están en $AD,BC$ tales que $A_1, E, F, A$ están en un círculo y también lo están $C_1, E, F, C$. Demostrar que las líneas $A_1C_1, BD, EF$ son concurrentes.

Hay n estaciones $1,2,...,n$ en una carretera rota (como en Cars) en ese orden, tal que la distancia entre la estación $i$ y $i+1$ es una unidad. La distancia entre dos posiciones de los coches es el mínimo de unidades necesarias para ser arreglados para que cada coche pueda ir desde su lugar en la primera posición a su lugar en la segunda (dos coches pueden estar en la misma estación en una posición). Demostrar que para todo $\alpha<1$ existe $n$ y $100^n$ posiciones tales que la distancia de cada dos posiciones es al menos $n\alpha$.

Un círculo $\omega$ está estrictamente dentro del triángulo $ABC$. Las tangentes desde $A$ a $\omega$ intersecan a $BC$ en $A_1,A_2$. Definir $B_1,B_2,C_1,C_2$ de manera similar. Demostrar que si cinco de los seis puntos $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$ están en un círculo, el sexto también está en el círculo.

Para todo primo $p>3$ con residuo $1$ o $3$ módulo $8$, demostrar que el número de ternas $(a,b,c), p=a^2+bc, 0<b<c<\sqrt{p}$ es impar.