Alice y Bob juegan un juego en un grafo conectado con $2n$ vértices, donde $n\in \mathbb{N}$ y $n>1$. Alice y Bob tienen fichas llamadas A y B respectivamente. Se turnan con Alice yendo primero. Alice decide las posiciones iniciales de A y B. En cada movimiento, el jugador en turno mueve su ficha a un vértice adyacente. El objetivo de Bob es atrapar a Alice, y el objetivo de Alice es evitar esto. Tenga en cuenta que las posiciones de A, B son visibles para Alice y Bob en todo momento. Siempre que ambos jueguen de manera óptima, ¿cuál es el número máximo posible de aristas en el grafo si Alice puede evadir a Bob indefinidamente?

Sea $\mathcal{P}$ el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en $\{0, 1\}$. Suponga que $a, b$ son enteros no nulos tales que para todo $f \in \mathcal{P}$ con $f(a)\neq 0$, tenemos $f(a) \mid f(b)$. Demuestre que $a=b$.

Sea $G$ un grafo simple con $100$ aristas en $20$ vértices. Suponga que podemos elegir un par de aristas disjuntas de $4050$ maneras. Demuestre que $G$ es regular.

Sea $\delta$ un símbolo tal que $\delta \neq 0$ y $\delta^2 = 0$ . Defina $\mathbb R[\delta] = \{a + b \delta | a, b \in \mathbb R\}$ , donde $a+ b \delta = c+ d \delta$ si y solo si $a = c$ y $b = d$ , y defina \[(a + b \delta) + (c + d \delta) = (a + c) + (b + d) \delta,\] \[(a + b \delta) \cdot (c + d \delta) = ac + (ad + bc) \delta.\] Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes reales. Demuestre que $P(x)$ tiene una raíz real múltiple si y solo si $P(x)$ tiene una raíz no real en $\mathbb R[\delta].$

Sean $A$ y $B$ dos puntos fijos en el plano. Considere todos los cuadriláteros convexos posibles $ABCD$ con $AB = BC, AD = DC$ , y $\angle ADC = 90^\circ$ . Demuestre que existe un punto fijo $P$ tal que, para cada cuadrilátero $ABCD$ en el mismo lado de $AB$ , la línea $DC$ pasa por $P.$

En un cuadrilátero convexo $ABCD$ con $\angle ABC = \angle ADC = 135^\circ$ , se toman los puntos $M$ y $N$ en los rayos $AB$ y $AD$ respectivamente, tales que $\angle MCD = \angle NCB = 90^\circ$ . Los circuncírculos de los triángulos $AMN$ y $ABD$ se intersecan en $A$ y $K$ . Demuestre que $AK \perp KC.$

Un rectángulo está dividido en un número finito de rectángulos pequeños. Llamamos punto de cruce a un punto si pertenece a cuatro rectángulos pequeños diferentes. Llamamos segmento en el diagrama obtenido maximal si no hay otro segmento que lo contenga. Demuestre que el número de segmentos maximales más el número de puntos de cruce es $3$ más que el número de rectángulos pequeños.

Sea $n \in \mathbb N$ y $A_n$ el conjunto de todas las permutaciones $(a_1, \ldots, a_n)$ del conjunto $\{1, 2, \ldots , n\}$ para las cuales \[k|2(a_1 + \cdots+ a_k), \text{ para todo } 1 \leq k \leq n.\] Encuentre el número de elementos del conjunto $A_n$ .

La línea $l$ interseca la extensión de $AB$ en $D$ ( $D$ está más cerca de $B$ que de $A$ ) y la extensión de $AC$ en $E$ ( $E$ está más cerca de $C$ que de $A$ ) del triángulo $ABC$ . Suponga que la reflexión de la línea $l$ a la bisectriz perpendicular del lado $BC$ interseca las extensiones mencionadas en $D'$ y $E'$ respectivamente. Demuestre que si $BD+CE=DE$ , entonces $BD'+CE'=D'E'$ .

Arcoíris es el nombre de un pájaro. Este pájaro tiene $n$ colores y sus colores en dos días consecutivos no son iguales. No existen $4$ días en la vida de este pájaro como $i,j,k,l$ tales que $i<j<k<l$ y el pájaro tiene el mismo color en los días $i$ y $k$ y el mismo color en los días $j$ y $l$ diferente de los colores que tiene en los días $i$ y $k$ . ¿Cuál es el número máximo de días que Arcoíris puede vivir en términos de $n$ ?