Determina todas las ternas de enteros positivos $(x,y,z)$ tales que $x^4+y^4 =2z^2$ y $x$ e $y$ son relativamente primos.

Considera un triángulo acutángulo $ABC$ en el que $A_1, B_1,$ y $C_1$ son los pies de las alturas desde $A, B,$ y $C,$ respectivamente, y $H$ es el ortocentro. Las perpendiculares desde $H$ sobre $A_1C_1$ y $A_1B_1$ intersecan las líneas $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q,$ respectivamente. Demuestra que la línea perpendicular a $B_1C_1$ que pasa por $A$ también contiene el punto medio del segmento de línea $PQ$.

Sea $n\geq 3$ un entero positivo. Considera un cuadrado de $n\times n$. En cada celda del cuadrado, se debe escribir uno de los números del conjunto $M=\{1,2,\ldots,2n-1\}$. Tal llenado se llama bueno si, para cada índice $1\leq i\leq n,$ la fila no. $i$ y la columna no. $i,$ juntas, contienen todos los elementos de $M$. Demuestra que existe $n\geq 3$ para el cual existe un llenado bueno. Demuestra que para $n=2017$ no existe un llenado bueno del cuadrado de $n\times n$.

¿Cuál es el valor más pequeño que puede tomar la suma de los dígitos del número $3n^2+n+1,$ $n\in\mathbb{N}$?

Sea $A$ un dominio integral y $A[X]$ su anillo de polinomios asociado. Para todo entero $n \ge 2$ definimos la aplicación $\varphi_n : A[X] \to A[X],$ $\varphi_n(f)=f^n$ y asumimos que el conjunto $$M= \Big\{ n \in \mathbb{Z}_{\ge 2} : \varphi_n \mathrm{~es~un~endomorfismo~del~anillo~} A[X] \Big\}$$ es no vacío. Demostrar que existe un único número primo $p$ tal que $M=\{p,p^2,p^3, \ldots\}.$

Sea $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función monótona y $a,b,c,d$ números reales con $a$ y $c$ distintos de cero. Demostrar que si las igualdades $\int\limits_x^{x+\sqrt{3}} f(t) \mathrm{d}t=ax+b$ y $\int\limits_x^{x+\sqrt{2}} f(t) \mathrm{d}t=cx+d$ se cumplen para todo número real $x,$ entonces $f$ es una función polinómica de grado uno.

Para un grupo finito $G$ denotamos por $n(G)$ el número de elementos del grupo y por $s(G)$ el número de subgrupos del mismo. Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.\na) Para todo $a>0$ existe un grupo finito $G$ con $\frac{n(G)}{s(G)}<a.$\nb) Para todo $a>0$ existe un grupo finito $G$ con $\frac{n(G)}{s(G)}>a.$

Encontrar todas las funciones continuas $ f: \mathbb{R}\to [1,\infty)$ para las cuales existe $ a\in\mathbb{R}$ y un entero positivo $ k$ tal que $$ f(x)f(2x)\cdot...\cdot f(nx)\leq an^k$$ para todo real $ x$ y todos los enteros positivos $ n$ .

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función diferenciable tal que $$f(x)=f \left( \frac{x}{2} \right) + \frac{x}{2} f'(x), ~\forall x \in \mathbb{R}.$$ Demostrar que $f$ es una función polinómica de grado como máximo uno.

Sean $a,b \in \mathbb{R},$ $a<b$ y $f,g:[a,b] \to \mathbb{R}$ dos funciones diferenciables con derivadas crecientes y $f'(a)>0,$ $g'(a)>0.$ Demostrar que existe $c \in [a,b]$ tal que $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot \frac{g(b)-g(a)}{b-a}=f'(c)g'(c).$$