Tenemos una tabla de $m\times n$ con $m\geq{4}$ y llamamos a un cuadrado de $1\times 1$ una habitación. Cuando ponemos una moneda de cocodrilo en una habitación, amenaza a todas las habitaciones en su columna y a sus habitaciones adyacentes en su fila. ¿Cuál es el número mínimo de monedas de cocodrilo requerido, tal que cada habitación esté amenazada al menos por una moneda de cocodrilo? (Notar que todas las monedas de cocodrilo son verticales.)

La bisectriz interior de $\angle A$ de $\triangle ABC$ interseca al lado $BC$ y a la circunferencia circunscrita de $\Delta ABC$ en $D,M$, respectivamente. Sea $\omega$ un círculo con centro $M$ y radio $MB$. Una línea que pasa por $D$, interseca a $\omega$ en $X,Y$. Demostrar que $AD$ biseca a $\angle XAY$.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de enteros positivos. Determinar todas las funciones $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tales que para cada par $(m,n)\in\mathbb{N}^2$ se cumple que: $f(m)+f(n) \ | \ m+n$.

El ministerio de transporte ha asignado $80$ compañías informales para reparar $2400$ carreteras. Estas carreteras conectan $100$ ciudades entre sí. Cada carretera está entre $2$ ciudades y hay como máximo $1$ carretera entre cada $2$ ciudades. Se sabe que cada compañía repara $30$ carreteras en las que tiene agencias en cada $2$ extremos de ellas. Demostrar que existe una ciudad en la que $8$ compañías tienen agencias.

Sea $f:\mathbb{R}^{\geq 0}\to\mathbb{R}$ una función tal que $f(x)-3x$ y $f(x)-x^3$ son funciones ascendentes. Demostrar que $f(x)-x^2-x$ también es una función ascendente. (Llamamos a la función $g(x)$ ascendente, cuando para todo $x\leq{y}$ tenemos $g(x)\leq{g(y)}$).

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A=90^{\circ}$. Sea $D$ el punto de intersección de la bisectriz interior de $\angle A$ y $BC$. Sea $I_a$ el excentro $A$ de $\triangle ABC$. Demostrar que: $\frac{AD}{DI_a}\leq\sqrt{2}-1$.

Encuentra todas las funciones $f: \mathbb N \to \mathbb N$ tales que: 1. para todo $x,y\in N$ : $x+y|f(x)+f(y)$ 2. para todo $x\geq 1395$ : $x^3\geq 2f(x)$

$ABCD$ es un cuadrilátero tal que $\angle ACB=\angle ACD$. $T$ está dentro de $ABCD$ tal que $\angle ADC-\angle ATB=\angle BAC$ y $\angle ABC-\angle ATD=\angle CAD$. Pruebe que $\angle BAT=\angle DAC$.

Sean $l_1,l_2,l_3,...,l_n$ rectas en el plano tales que no hay dos de ellas paralelas y no hay tres de ellas concurrentes. Sea $A$ el punto de intersección de las rectas $l_i,l_j$. Llamamos a $A$ un 'Punto Interior' si hay puntos $C,D$ en $l_i$ y $E,F$ en $l_j$ tales que $A$ está entre $C,D$ y $E,F$. Pruebe que hay al menos $\frac{(n-2)(n-3)}{2}$ puntos interiores. ($n>2$) nota: por punto aquí nos referimos a los puntos que son el punto de intersección de dos de $l_1,l_2,...,l_n$.

Un consejo tiene $6$ miembros y las decisiones se basan en votos de acuerdo y desacuerdo. Llamamos a un método de toma de decisiones una forma Aceptable de decidir si satisface las dos condiciones siguientes:\nCondición Ascendente: Si en algún caso, el resultado final es positivo, también se mantiene positivo si alguien cambia su voto de desacuerdo a voto de acuerdo.\nCondición de Simetría: Si todos los miembros cambian sus votos, el resultado también cambiará.\nVotación Ponderada por ejemplo, es una forma Aceptable de decidir. En la que a los miembros se les asignan pesos no negativos como $\omega_1,\omega_2,\cdots , \omega_6$ y la decisión final se toma comparando la suma de los pesos de los votos a favor y los votos en contra. Por ejemplo, si $\omega_1=2$ y para todo $i\ge2, \omega_i=1$, la decisión se basa en la mayoría de los votos, y en caso de que los votos sean iguales, el voto del primer miembro será el que decida. Da un ejemplo de algún método de toma de decisiones Aceptable que no pueda representarse como un método de Votación Ponderada.