Sea $ABC$ un triángulo con $AB > AC$. Sean $D$ el punto de la recta $BC$ tal que $AB = AD$, y $E$ el punto de la recta $BC$ tal que $AC = AE$. Suponga que $M$ es el punto medio de $DE$, y sea $F$ el punto de intersección de la circunferencia que pasa por $A$, $C$ y $D$ y la circunferencia que pasa por $A$, $B$ y $E$, distinto de $A$. Demuestre que $AF$ es perpendicular a $AM$.

Sea $n \geq 2$ un entero. Consideremos $n$ puntos en el plano tales que no haya tres colineales. A cada segmento que une dos de los $n$ puntos se le asigna un número del conjunto ${1, 2, \ldots, k}$ de tal manera que se cumplen ambas de las siguientes condiciones:\n(1) Para cada tres puntos $A$, $B$ y $C$, los segmentos $AB$, $BC$ y $CA$ no tienen todos el mismo número asignado.\n(2) Existe un número $m$ tal que $1 \leq m \leq k$ y tal que siempre podemos encontrar un camino de cualquier punto a cualquier otro punto usando solo segmentos asignados con el número $m$.\nDetermine el valor mínimo posible de $k$ en función de $n$.

Sean $a, b, c$ enteros positivos tales que $a < b < c$ y tales que $ab + 1$, $bc + 1$ y $ca + 1$ son cuadrados perfectos. Demuestre que\n$$a + b + c \geq 36.$$

Sea $n$ un entero positivo. Tenemos $n$ cajas idénticas y $n$ canicas de cada uno de $n$ colores diferentes. Colocamos las $n^2$ canicas en las cajas de tal manera que cada caja contenga exactamente $n$ canicas. Demuestre que, para alguna caja, el número de colores diferentes de las canicas en esa caja es al menos $\frac{n+1}{2}$.

Determine todas las funciones $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que\n$$ f(xf(x) + f(y)) = (f(x))^2 + y, $$\npara todo $x, y \in \mathbb{R}$.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. Sea $D$ el punto de intersección de la recta $AI$ con la recta $BC$. Sea $E$ el punto en el lado $AC$ tal que $IE \perp AI$. Sea $F$ el punto en el lado $AB$ tal que $IF \perp AI$. Suponga que la recta $EF$ corta a la recta $BC$ en el punto $P$. Suponga que el círculo circunscrito del triángulo $IEF$ corta a la recta $BC$ en los puntos $D$ y $Q$. Demuestre que $I$ es el punto medio del segmento $PQ$.

Sea $G$ un grupo abeliano finito. Hay una caja mágica $T$. En cualquier momento, se puede agregar un elemento de $G$ a la caja y todos los elementos pertenecientes al subgrupo (de $G$) generado por los elementos que están actualmente dentro de $T$ se mueven de afuera de $T$ a adentro (a menos que ya estén adentro). Inicialmente $T$ contiene solo la identidad del grupo, $1_G$. Alice y Bob se turnan para mover un elemento desde afuera de $T$ hacia adentro. Alice se mueve primero. Quien no pueda hacer un movimiento pierde. Encuentre todos los $G$ para los cuales Bob tiene una estrategia ganadora.

Sea $P \in \mathbb{R}[x]$. Suponga que el multiconjunto de raíces reales (donde las raíces se cuentan con multiplicidad) de $P(x)-x$ y $P^3(x)-x$ son distintos. Demuestre que para todo $n\in \mathbb{N}$, $P^n(x)-x$ tiene al menos $\sigma(n)-2$ raíces reales distintas. (Aquí $P^n(x):=P(P^{n-1}(x))$ con $P^1(x) = P(x)$, y $\sigma(n)$ es la suma de todos los divisores positivos de $n$).

¿Existe una función $f:[0,1]\rightarrow (0,\infty)$ tal que $f$ sea diferenciable en $[0,1]$? Su derivada $f'$ es continua en $[0,1]$. $(f'(x))^3-x^{\frac{1}{3}}>6(1-f(x)^{\frac{1}{5}})$ para todo $x\in [0,1]$. $f(1)=1$

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tales que para todo $x,y\in \mathbb{R}$,\n\[xf(y+x)+(y+x)f(y)=f(x^2+y^2)+2f(xy)\]