Un palíndromo es un número que permanece igual cuando sus dígitos se invierten. Sea $n$ un producto de primos distintos no divisibles por $10$ . Demuestra que infinitos múltiplos de $n$ son palíndromos.

Construye un polígono convexo tal que cada uno de sus lados tenga la misma longitud que una de sus diagonales y cada diagonal tenga la misma longitud que uno de sus lados, o demuestra que tal polígono no existe.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB = BC$ . Demuestra que $\triangle ABC$ es un triángulo obtuso si y sólo si la ecuación $$Ax^2 + Bx + C = 0$$ tiene dos raíces reales distintas, donde $A$ , $B$ , $C$ , son los ángulos en radianes.

Llamamos a un par de polígonos, $p$ y $q$ , anidados si podemos dibujar uno dentro del otro, posiblemente después de la rotación y/o reflexión; de lo contrario, los llamamos no anidados. Sean $p$ y $q$ polígonos. Demuestra que si podemos encontrar un polígono $r$ , que es similar a $q$ , tal que $r$ y $p$ no están anidados si y sólo si $p$ y $q$ no son similares.

Determinar todas las soluciones reales al siguiente sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} y = 4x^3 + 12x^2 + 12x + 3\\ x = 4y^3 + 12y^2 + 12y + 3. \end{cases}$$

Una baraja de $2n+1$ cartas consiste en un comodín y, para cada número entre 1 y $n$ inclusive, dos cartas marcadas con ese número. Las $2n+1$ cartas se colocan en una fila, con el comodín en el medio. Para cada $k$ con $1 \leq k \leq n,$ las dos cartas numeradas $k$ tienen exactamente $k-1$ cartas entre ellas. Determina todos los valores de $n$ que no excedan 10 para los cuales esta disposición es posible. ¿Para qué valores de $n$ es imposible?

Resuelve la ecuación\n\[ x^2 + \frac{x^2}{(x+1)^2} = 3\]

En el diagrama, $ABCD$ es un cuadrado, con $U$ y $V$ puntos interiores de los lados $AB$ y $CD$ respectivamente. Determina todas las formas posibles de seleccionar $U$ y $V$ para maximizar el área del cuadrilátero $PUQV$.

Para $x,y,z \geq 0,$ demuestra la desigualdad\n\[ x(x-z)^2 + y(y-z)^2 \geq (x-z)(y-z)(x+y-z)\]\ny determina cuándo se cumple la igualdad.

Demuestra que el producto de los primeros $n$ números naturales es divisible por la suma de los primeros $n$ números naturales si y sólo si $n+1$ no es un número primo impar.