En un cuadrilátero convexo $ABCD$ con $\angle ABC = \angle ADC = 135^\circ$ , se toman los puntos $M$ y $N$ en los rayos $AB$ y $AD$ respectivamente, tales que $\angle MCD = \angle NCB = 90^\circ$ . Los circuncírculos de los triángulos $AMN$ y $ABD$ se intersecan en $A$ y $K$ . Demuestre que $AK \perp KC.$