Sean $a$ y $b$ dos números naturales distintos libres de cuadrados. Demuestre que existe $c>0$ tal que \[ \left | \{n\sqrt{a}\}-\{n\sqrt{b}\}\right |>\frac{c}{n^3}\] para cada entero positivo $n$ .

Sea $k$ un entero positivo mayor que $1$ . Construya un conjunto infinito $\mathcal{A}$ de subconjuntos de $\mathbb{N}$ que tenga las siguientes propiedades: (a) cualquier $k$ conjuntos distintos de $\mathcal{A}$ tienen exactamente un elemento común; (b) cualquier $k+1$ conjuntos distintos de $\mathcal{A}$ tienen intersección vacía.

Sea $S$ el conjunto de todos los números racionales expresables en la forma \[\frac{(a_1^2+a_1-1)(a_2^2+a_2-1)\ldots (a_n^2+a_n-1)}{(b_1^2+b_1-1)(b_2^2+b_2-1)\ldots (b_n^2+b_n-1)}\] para algunos enteros positivos $n, a_1, a_2 ,\ldots, a_n, b_1, b_2, \ldots, b_n$ . Demuestre que hay un número infinito de primos en $S$ .

Los vértices de dos triángulos acutángulos se encuentran en el mismo círculo. El círculo de Euler (círculo de nueve puntos) de uno de los triángulos pasa por los puntos medios de dos lados del otro triángulo. Demuestre que los triángulos tienen el mismo círculo de Euler. EDIT por pohoatza (en concordancia con el PS de Luis): Versión alternativa/inicial Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $\Gamma$ y centro de nueve puntos $\gamma$ . Sea $X$ un punto en $\Gamma$ y sean $Y$ , $Z$ en $\Gamma$ de modo que los puntos medios de los segmentos $XY$ y $XZ$ estén en $\gamma$ . Demuestre que el punto medio de $YZ$ está en $\gamma$ .

Suponga que $a$ y $b$ son dos números reales positivos distintos tales que $\lfloor na\rfloor$ divide a $\lfloor nb\rfloor$ para cualquier entero positivo $n$ . Demuestre que $a$ y $b$ son enteros positivos.

Sea $n$ un entero mayor que 1. El conjunto $S$ de todas las diagonales de un $ \left( 4n-1\right) $ - gon se divide en $k$ conjuntos, $S_{1},S_{2},\ldots ,S_{k},$ de modo que, para cada par de índices distintos $i$ y $j,$ alguna diagonal en $S_{i}$ cruza alguna diagonal en $S_{j};$ es decir, las dos diagonales comparten un punto interior. Determine el valor más grande posible de $k $ en términos de $n.$

Determine todas las funciones inyectivas definidas en el conjunto de enteros positivos en sí mismo que satisfacen la siguiente condición: Si $S$ es un conjunto finito de enteros positivos tal que $\sum\limits_{s\in S}\frac{1}{s}$ es un entero, entonces $\sum\limits_{s\in S}\frac{1}{f\left( s\right) }$ también es un entero.

Los círculos $\Omega $ y $\omega $ son tangentes en un punto $P$ ( $\omega $ está dentro de $\Omega $ ) . Una cuerda $AB$ de $\Omega $ es tangente a $\omega $ en $C;$ la línea $PC$ se encuentra con $\Omega $ nuevamente en $Q.$ Las cuerdas $QR$ y $QS$ de $ \Omega $ son tangentes a $\omega .$ Sean $I,X,$ e $Y$ los incentros de los triángulos $APB,$ $ARB,$ y $ASB,$ respectivamente. Demuestre que $\angle PXI+\angle PYI=90^{\circ }.$

Dado un entero $n\geq 2,$ sean $a_{n},b_{n},c_{n}$ números enteros tales que \[ \left( \sqrt[3]{2}-1\right) ^{n}=a_{n}+b_{n}\sqrt[3]{2}+c_{n}\sqrt[3]{4}. \] Demuestre que $c_{n}\equiv 1\pmod{3} $ si y solo si $n\equiv 2\pmod{3}.$

a) Demuestra que para todos los reales positivos $u,v,x,y$ la siguiente desigualdad se cumple: \[ \frac ux + \frac vy \geq \frac {4(uy+vx)}{(x+y)^2} . \] b) Sean $a,b,c,d>0$. Demuestra que \[ \frac a{b+2c+d} + \frac b{c+2d+a} + \frac c{d+2a+b} + \frac d{a+2b+c} \geq 1.\]