En un campo grande y plano, $n$ personas están posicionadas de manera que para cada persona las distancias a todas las demás personas son diferentes. Cada persona sostiene una pistola de agua y, a una señal dada, dispara y golpea a la persona que está más cerca. Cuando $n$ es impar, demuestre que hay al menos una persona que se queda seca. ¿Es esto siempre cierto cuando $n$ es par?

Suponga que $ABCD$ es un paralelogramo y $E$ es un punto entre $B$ y $C$ en la línea $BC$ . Si los triángulos $DEC$ , $BED$ y $BAD$ son isósceles, ¿cuáles son los valores posibles para el ángulo $DAB$ ?

El número 1987 se puede escribir como un número de tres dígitos $xyz$ en alguna base $b$ . Si $x + y + z = 1 + 9 + 8 + 7$ , determine todos los valores posibles de $x$ , $y$ , $z$ , $b$ .

Encuentra todas las soluciones de $a^2 + b^2 = n!$ para enteros positivos $a$ , $b$ , $n$ con $a \le b$ y $n < 14$ .

Encontrar todos los pares $(a, b)$ de números racionales positivos tales que $\sqrt[b]{a}= ab$

Sean $a, b, c$ números reales positivos con $ab + bc + ac = abc$ . Probar que $$\frac{bc}{a^{a+1}} +\frac{ac}{b^{b+1 }}+\frac{ab}{c^{c+1}} \ge \frac13$$

En el pentágono convexo $ABCDE, AC$ es paralelo a $DE, AB$ es perpendicular a $AE$ , y $BC$ es perpendicular a $CD$ . Si $H$ es el ortocentro del triángulo $ABC$ y $M$ es el punto medio del segmento $DE$ , probar que $AD, CE$ y $HM$ son concurrentes.

Definimos las siguientes secuencias: \n• Secuencia $A$ tiene $a_n = n$ . \n• Secuencia $B$ tiene $b_n = a_n$ cuando $a_n \not\equiv 0$ (mod 3) y $b_n = 0$ en caso contrario. \n• Secuencia $C$ tiene $c_n =\sum_{i=1}^{n} b_i$ . \n• Secuencia $D$ tiene $d_n = c_n$ cuando $c_n \not\equiv 0$ (mod 3) y $d_n = 0$ en caso contrario. \n• Secuencia $E$ tiene $e_n =\sum_{i=1}^{n}d_i$ \nProbar que los términos de la secuencia E son exactamente los cubos perfectos.

Dado un conjunto $S$ de enteros, una partición óptima de $S$ en conjuntos $T, U$ es una partición que minimiza el valor $|t - u|$ , donde $t$ y $u$ son la suma de los elementos de $T$ y $U$ respectivamente. Sea $P$ un conjunto de enteros positivos distintos tal que la suma de los elementos de $P$ es $2k$ para un entero positivo $k$ , y ningún subconjunto de $P$ suma a $k$ . Demostrar que existe tal $P$ con al menos $2020$ particiones óptimas diferentes, o demostrar que tal $P$ no existe.

Determinar todos los grafos $G$ con las siguientes dos propiedades: \n$\bullet$ G contiene al menos un camino Hamiltoniano. \n$\bullet$ Para cualquier par de vértices, $u, v \in G$ , si hay un camino Hamiltoniano de $u$ a $v$ entonces la arista $uv$ está en el grafo $G$