Sea $N$ un entero positivo y $A = a_1, a_2, ... , a_N$ una secuencia de números reales. Definimos la secuencia $f(A)$ como $$f(A) = \left( \frac{a_1 + a_2}{2},\frac{a_2 + a_3}{2}, ...,\frac{a_{N-1} + a_N}{2},\frac{a_N + a_1}{2}\right)$$ y para $k$ un entero positivo definimos $f^k (A)$ como $f$ aplicada a $A$ consecutivamente $k$ veces (i.e. $f(f(... f(A)))$ ) Encontrar todas las secuencias $A = (a_1, a_2,..., a_N)$ de enteros tales que $f^k (A)$ contiene solo enteros para todo $k$ .

La función $f : \mathbb N \to \mathbb R$ satisface $f(1) = 1, f(2) = 2$ y \[f (n+2) = f(n+2 - f(n+1) ) + f(n+1 - f(n) ).\] Demuestre que $0 \leq f(n+1) - f(n) \leq 1$ . Encuentre todos los $n$ para los cuales $f(n) = 1025$ .

Demostrar que para todos los enteros $a \ge 1$ , $ \lfloor \sqrt{a}+\sqrt{a+1}+\sqrt{a+2}\rfloor = \lfloor \sqrt{9a+8}\rfloor$

Los pies de las perpendiculares desde el punto de intersección de las diagonales de un cuadrilátero cíclico convexo a los lados forman un cuadrilátero $q$ . Demuestre que la suma de las longitudes de cada par de lados opuestos de $q$ es igual.

$\frac{n(n + 1)}{2}$ números distintos se organizan al azar en $n$ filas. La primera fila tiene $1$ número, la segunda tiene $2$ números, la tercera tiene $3$ números y así sucesivamente. Encuentre la probabilidad de que el número más grande en cada fila sea más pequeño que el número más grande en cada fila con más números.

Una partícula puede viajar a velocidades de hasta $ \frac{2m}{s}$ a lo largo del eje $ x$, y hasta $ \frac{1m}{s}$ en cualquier otro lugar del plano. Proporcione un boceto etiquetado de la región a la que se puede llegar en un segundo desde la partícula que comienza en el origen.

Una competición que involucra a $n\ge 2$ jugadores se llevó a cabo durante $k$ días. En cada día, los jugadores recibieron puntajes de $1,2,3,\ldots , n$ puntos sin que ningún jugador recibiera el mismo puntaje. Al final de los $k$ días, se encontró que cada jugador tenía exactamente $26$ puntos en total. Determine todos los pares $(n,k)$ para los cuales esto es posible.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que los cinco vértices se encuentran en un círculo y los cinco lados son tangentes a otro círculo dentro del pentágono. Hay ${5 \choose 3}= 10$ triángulos que se pueden formar eligiendo $3$ de los $5$ vértices. Para cada uno de estos $10$ triángulos, marque su incentro. Demuestre que estos $10$ incentros se encuentran en dos círculos concéntricos.

Sea $n$ un entero positivo. Un conjunto de n líneas distintas divide el plano en varias regiones (posiblemente no acotadas). El conjunto de líneas se llama 'agradable' si no hay tres líneas que se crucen en un solo punto. Un 'coloreado' es una asignación de dos colores a cada región tal que el primer color es del conjunto $\{A_1, A_2\}$ , y el segundo color es del conjunto $\{B_1, B_2, B_3\}$ . Dado un conjunto agradable de líneas, lo llamamos 'coloreable' si existe una coloración tal que (a) ningún color se asigna a dos regiones que comparten un borde; (b) para cada $i \in \{1, 2\}$ y $j \in \{1, 2, 3\}$ hay al menos una región a la que se le asignan tanto $A_i$ como $B_j$ . Determine todos los $n$ tales que cada configuración agradable de $n$ líneas sea coloreable.

Vishal comienza con $n$ copias del número $1$ escrito en el tablero. Cada minuto, toma dos números $a, b$ y los reemplaza con $a+b$ o $\min(a^2, b^2)$ . Después de $n-1$ hay $1$ número en el tablero. Sea el valor máximo posible de este número $f(n)$ . Demuestre $2^{n/3}<f(n)\leq 3^{n/3}$ .