Sea $ABCA'B'C'$ un prisma regular. Los puntos $M$ y $N$ son los puntos medios de los lados $BB'$, respectivamente $BC$, y el ángulo entre las rectas $AB'$ y $BC'$ es de $60^\circ$. Sean $O$ y $P$ la intersección de las rectas $A'C$ y $AC'$, con respectivamente $B'C$ y $C'N$. a) Demuestra que $AC' \perp (OPM)$ ; b) Encuentra la medida del ángulo entre la recta $AP$ y el plano $(OPM)$.

Para un entero positivo $n$, escrito en base decimal, denotamos por $p(n)$ el producto de sus dígitos. a) Demuestra que $p(n) \leq n$ ; b) Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que \[ 10p(n) = n^2+ 4n - 2005. \]

Consideramos un cubo con lados de longitud 1. Demuestra que un tetraedro con vértices en el conjunto de los vértices del cubo tiene el volumen $\dfrac 16$ si y solo si 3 de los vértices del tetraedro son vértices en la misma cara del cubo.

Sea $A$ un anillo con $2^n+1$ elementos, donde $n$ es un entero positivo y sea \[ M = \{ k \in\mathbb{Z} \mid k \geq 2, \ x^k =x , \ \forall \ x\in A \} . \] Demuestra que las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) $A$ es un campo; b) $M$ no está vacío y el elemento más pequeño en $M$ es $2^n+1$.

Sea $f:[0,\infty)\to(0,\infty)$ una función continua tal que $\lim_{n\to\infty} \int^x_0 f(t)dt$ existe y es finita. Demuestra que \[ \lim_{x\to\infty} \frac 1{\sqrt x} \int^x_0 \sqrt {f(t)} dt = 0. \]

Sea $G$ un grupo con $m$ elementos y sea $H$ un subgrupo propio de $G$ con $n$ elementos. Para cada $x\in G$ denotamos $H^x = \{ xhx^{-1} \mid h \in H \}$ y suponemos que $H^x \cap H = \{e\}$ , para todo $x\in G - H$ (donde por $e$ denotamos el elemento neutro del grupo $G$ ). a) Demuestra que $H^x=H^y$ si y solo si $x^{-1}y \in H$ ; b) Encuentra el número de elementos del conjunto $\bigcup_{x\in G} H^x$ como una función de $m$ y $n$.

Demuestra que los morfismos de grupo $f: (\mathbb{C},+)\to(\mathbb{C},+)$ para los cuales existe un $\lambda$ positivo tal que $|f(z)| \leq \lambda |z|$ para todo $z\in\mathbb{C}$ , tienen la forma \[ f(z) = \alpha z + \beta \overline{z} \] para algunos complejos $\alpha$ , $\beta$.

Un conjunto de $n$ puntos en el espacio euclidiano tridimensional, no cuatro de los cuales son coplanares, se divide en dos subconjuntos $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$. Un árbol $\mathcal{AB}$ es una configuración de $n-1$ segmentos, cada uno de los cuales tiene un punto final en $\mathcal{A}$ y un punto final en $\mathcal{B}$, y tal que ningún segmento forma una línea poligonal cerrada. Un árbol $\mathcal{AB}$ se transforma en otro de la siguiente manera: elija tres segmentos distintos $A_1B_1$ , $B_1A_2$ y $A_2B_2$ en el árbol $\mathcal{AB}$ tales que $A_1$ esté en $\mathcal{A}$ y $|A_1B_1|+|A_2B_2|>|A_1B_2|+|A_2B_1|$, y elimine el segmento $A_1B_1$ para reemplazarlo por el segmento $A_1B_2$. Dado cualquier árbol $\mathcal{AB}$, demuestre que cada secuencia de transformaciones sucesivas llega a su fin (no es posible realizar más transformaciones) después de un número finito de pasos.

Un hexágono convexo $A_1B_1A_2B_2A_3B_3$ está inscrito en una circunferencia $\Omega$ con radio $R$. Las diagonales $A_1B_2$ , $A_2B_3$ , $A_3B_1$ son concurrentes en $X$. Para cada $i=1,2,3$ sea $\omega_i$ tangente a los segmentos $XA_i$ y $XB_i$ y tangente al arco $A_iB_i$ de $\Omega$ que no contiene los otros vértices del hexágono; sea $r_i$ el radio de $\omega_i$ . $(a)$ Demuestre que $R\geq r_1+r_2+r_3$ $(b)$ Si $R= r_1+r_2+r_3$ , demuestre que los seis puntos de tangencia de las circunferencias $\omega_i$ con las diagonales $A_1B_2$ , $A_2B_3$ , $A_3B_1$ son concíclicos

Sean $x$ e $y$ números reales positivos tales que: $x+y^{2016}\geq 1$ . Demuestre que $x^{2016}+y> 1-\frac{1}{100}$