Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle BAC = 90^\circ$ y $AB < AC$ . Dividimos el interior del triángulo en las siguientes seis regiones: \n\begin{align*}\nS_1=\text{conjunto de todos los puntos }\mathit{P}\text{ dentro de }\triangle ABC\text{ tales que }PA<PB<PC \\ \nS_2=\text{conjunto de todos los puntos }\mathit{P}\text{ dentro de }\triangle ABC\text{ tales que }PA<PC<PB \\ \nS_3=\text{conjunto de todos los puntos }\mathit{P}\text{ dentro de }\triangle ABC\text{ tales que }PB<PA<PC \\\nS_4=\text{conjunto de todos los puntos }\mathit{P}\text{ dentro de }\triangle ABC\text{ tales que }PB<PC<PA \\\nS_5=\text{conjunto de todos los puntos }\mathit{P}\text{ dentro de }\triangle ABC\text{ tales que }PC<PA<PB \\\nS_6=\text{conjunto de todos los puntos }\mathit{P}\text{ dentro de }\triangle ABC\text{ tales que }PC<PB<PA\end{align*} \nSuponga que la razón del área de la región más grande al área de la región no vacía más pequeña es $49 : 1$ . Determine la razón $AC : AB$ .

Decimos que $(a,b,c)$ forman un trío fantástico si $a,b,c$ son enteros positivos, $a,b,c$ forman una progresión geométrica, y $a,b+1,c$ forman una progresión aritmética. Por ejemplo, $(2,4,8)$ y $(8,12,18)$ son tríos fantásticos. Demuestre que existen infinitos tríos fantásticos.

Dado un entero positivo $m$ , sea $d(m)$ el número de divisores positivos de $m$ . Determine todos los enteros positivos $n$ tales que $d(n) +d(n+ 1) = 5$ .

La primera fila de un cine contiene $45$ asientos. (a) Si $42$ personas están sentadas en la primera fila, demuestre que hay $10$ asientos consecutivos que están todos ocupados. (b) Demuestre que esta conclusión no necesariamente se cumple si solo $41$ personas están sentadas en la primera fila.

Hay $100$ círculos de radio uno en el plano. Un triángulo formado por los centros de tres círculos dados tiene área como máximo $2017$ . Demuestre que hay una línea que intersecta al menos tres de los círculos.

Sea $ABCD$ un paralelogramo. Los puntos $P$ y $Q$ se encuentran dentro de $ABCD$ tal que $\bigtriangleup ABP$ y $\bigtriangleup{BCQ}$ son equiláteros. Demuestre que la intersección de la línea que pasa por $P$ perpendicular a $PD$ y la línea que pasa por $Q$ perpendicular a $DQ$ se encuentra en la altura desde $B$ en $\bigtriangleup{ABC}$ .

Defina $S_n$ como el conjunto ${1,2,\cdots,n}$ . Un subconjunto no vacío $T_n$ de $S_n$ se llama $balanceado$ si el promedio de los elementos de $T_n$ es igual a la mediana de $T_n$ . Demuestre que, para toda $n$ , el número de subconjuntos balanceados $T_n$ es impar.

Defina una función $f(n)$ de los enteros positivos a los enteros positivos tal que $f(f(n))$ es el número de divisores enteros positivos de $n$ . Demuestre que si $p$ es un primo, entonces $f(p)$ es primo.

Para reales no negativos distintos por pares $a,b,c$ , demuestre que $$\frac{a^2}{(b-c)^2}+\frac{b^2}{(c-a)^2}+\frac{c^2}{(b-a)^2}>2$$ .

Para cada entero positivo $n$ demuestre que \[[\sqrt{4n + 1}] = [\sqrt{4n + 2}] = [\sqrt{4n + 3}] = [\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}]\] donde $[x]$ es el mayor entero menor o igual que $x$ (por ejemplo $[2.3] = 2$ , $[\pi] = 3$ , $[5] = 5$ ) .