Dado un número finito de niños y niñas, un conjunto sociable de niños es un conjunto de niños tal que cada niña conoce al menos a un niño en ese conjunto; y un conjunto sociable de niñas es un conjunto de niñas tal que cada niño conoce al menos a una niña en ese conjunto. Demuestre que la cantidad de conjuntos sociables de niños y la cantidad de conjuntos sociables de niñas tienen la misma paridad. (Se asume que el conocimiento es mutuo.)

Dado un entero positivo $n$ , considere un arreglo triangular con entradas $a_{ij}$ donde $i$ va de $1$ a $n$ y $j$ va de $1$ a $n-i+1$ . Las entradas del arreglo son todas $0$ o $1$ , y, para todo $i > 1$ y cualquier $j$ asociado, $a_{ij}$ es $0$ si $a_{i-1,j} = a_{i-1,j+1}$ , y $a_{ij}$ es $1$ de lo contrario. Sea $S$ el conjunto de secuencias binarias de longitud $n$ , y defina una función $f \colon S \to S$ vía $f \colon (a_{11}, a_{12},\cdots ,a_{1n}) \to (a_{n1}, a_{n-1,2}, \cdots , a_{1n})$ . Determine el número de puntos fijos de $f$ .

Sea $K$ un cuadrilátero convexo y sea $l$ una línea a través del punto de intersección de las diagonales de $K$ . Demuestre que la longitud del segmento de intersección $l\cap K$ no excede la longitud de (al menos) una de las diagonales de $K$ .

Sea $n$ un entero positivo y sean $x_1$ , $\ldots$ , $x_n$ números reales positivos. Demuestre que: \[ \min\left ( x_1,\frac{1}{x_1}+x_2, \cdots,\frac{1}{x_{n-1}}+x_n,\frac{1}{x_n} \right )\leq 2\cos \frac{\pi}{n+2} \leq\max\left ( x_1,\frac{1}{x_1}+x_2, \cdots,\frac{1}{x_{n-1}}+x_n,\frac{1}{x_n} \right ). \]

Dado un entero $n\geq 2$ , determine todos los polinomios no constantes $f$ con coeficientes complejos que satisfacen la condición \[1+f(X^n+1)=f(X)^n.\]

Sea $n$ un entero mayor que $1$ y sea $S$ el conjunto de subconjuntos de $n$ elementos del conjunto $\{1,2,\ldots,2n\}$ . Determine \[\max_{A\in S}\left (\min_{x,y\in A, x \neq y} [x,y]\right )\] donde $[x,y]$ es el mínimo común múltiplo de los enteros $x$ , $y$ .

Fije un punto $O$ en el plano y un entero $n\geq 3$ . Considere una familia finita $\mathcal{D}$ de discos unitarios cerrados en el plano tales que: (a) Ningún disco en $\mathcal{D}$ contiene el punto $O$ ; y (b) Para cada entero positivo $k < n$ , el disco cerrado de radio $k + 1$ centrado en $O$ contiene los centros de al menos $k$ discos en $\mathcal{D}$ . Demuestre que alguna línea a través de $O$ apuñala al menos $\frac{2}{\pi} \log \frac{n+1}{2}$ discos en $\mathcal{D}$ .

Sean $f$ y $g$ dos polinomios no nulos con coeficientes enteros y $\deg f>\deg g$ . Suponga que para infinitos primos $p$ el polinomio $pf+g$ tiene una raíz racional. Demuestre que $f$ tiene una raíz racional.

Determine el número natural más grande $r$ con la propiedad de que entre cualesquiera cinco subconjuntos con $500$ elementos del conjunto $\{1,2,\ldots,1000\}$ existen dos de ellos que comparten al menos $r$ elementos.

Sea $\gamma$ un círculo y $P$ un punto que está fuera del círculo. Dos líneas arbitrarias $l$ y $l'$ que pasan por $P$ intersectan el círculo en los puntos $X$ , $Y$ , respectivamente $X'$ , $Y'$ , tales que $X$ está entre $P$ e $Y$ y $X'$ está entre $P$ e $Y'$ . Demuestre que la línea determinada por los circuncentros de los triángulos $PXY'$ y $PX'Y$ pasa por un punto fijo.